Eratóstenes fue sólo el primero

por Guillermo E. Mulvihill

Una muy breve historia de las mediciones de la Tierra.

Una constante en el discurso terraplanista es que el método usado por Eratóstenes no es válido como medida del diámetro de la Tierra, con una larga serie de excusas:

• Sobre la distancia entre Alejandría y Siena (hoy Asúan), que no pudo calcularse con precisión, por el método del camellero, el esclavo o los soldados. Que las unidades de medida no están bien definidas y no se sabe si eran estadios romanos o griegos.
• Sobre el ángulo de la sombra proyectada, que falta mención al método que se usó para medirlo.
• Que en esa época y a esa distancia, era imposible hacer las dos mediciones simultáneamente (como si hiciera falta una precisión de milésimas de segundo)
• Sobre los tres puntos anteriores, que no hay registro histórico.Que las dos ciudades no están en el mismo meridiano, lo que afectaría tanto la simultaneidad de la medición como la medición misma, y luego obviamente el cálculo.
• Algún etcétera que seguramente esté olvidando, o alguno que estén pensando.

Luego, como agregado final a la lista de objeciones al método, sugieren que la interpretación de Eratóstenes bien podría estar equivocada ya que se podría observar el mismo fenómeno partiendo de la hipótesis de una Tierra plana y un Sol cercano.

Y todo ésto, por supuesto, desoyendo y desestimando que la hipótesis de Eratóstenes de una Tierra esférica y un Sol lejano estaban avaladas por otras observaciones de la astronomía helenística. Dos siglos antes de Eratóstenes, Filolao de Tarento argumentó sobre la esfericidad de la Tierra basado en distintas observaciones, y unas décadas antes de Eratóstenes, Aristarco de Samos estimó la lejanía del Sol con un método de triangulación sobre el sistema Sol-Tierra-Luna.

Otra cosa que parecen entender los terraplanistas, es que la medición de Eratóstenes se asume y se toma como dogma desde esa época. Creen que la falta exactitud en la descripción de los métodos de medición la encasillaría en la categoría de mito. Creen que el cuestionamiento histórico y la larga lista de objeciones derivadas les sirven para derrumbar el hecho de la esfericidad terrestre y su tamaño.

Dejando de lado los aspectos históricos, los terraplanistas también desoyen que el método de medición de Eratóstenes puede replicarse hoy, con toda la tecnología que permitiría tanto la precisión como la simultaneidad de la mediciones, con prácticamente el mismo resultado obtenido hace casi 2300 años atrás. Desoyendo además de que la hipótesis de la Tierra plana y el Sol cercano se derrumba en cuanto agregamos al método de medición un gnomon o más. No puede triangularse un Sol cercano con tres sombras.

Y dejando además de lado toda cuestión sobre esta discusión, algo que parece que desconocen los terraplanistas es que la medición de Eratóstenes del año 230 a.C. no fué la única que se hizo sobre la morfología terrestre. Después de casi 2300 años de historia, sería naif pensarlo. Reveamos algunas pocas, las más significativas.

Al-Biruni

Abū 'r-Raihān Muhammad ibn Ahmad al-Bīrūnī

Fué uno de los más grandes pensadores del mundo islámico. Matemático, astrónomo y filósofo persa (973 - 1048). Hizo muchas contribuciones en muchos campos del saber, por ejemplo, la regla de tres que sirve para resolver problemas de proporcionalidad. Al igual que Eratóstenes, ideó su propio método para medir la circunferencia de la Tierra, sin mucho más instrumental que el de su propio cerebro, sólo que un poco más complicado.

Una de sus contribuciones fue el método de medir alturas a partir de dos puntos de observación distintos cuya distancia de separación es dato. En particular Al-Biruni midió una montaña

Puede demostrarse que:

Una vez conocida la altura de la montaña, viene la segunda parte del experimento. Hay que subir a la cima y determinar el ángulo de depresión con respecto al horizonte astronómico.

El triángulo PAO es rectángulo en P, por lo que desarrollando se puede llegar a que

Al-Biruni midió una montaña cerca de Nandana, en India , y que estimó el radio de la Tierra en 6336 km. Muy cerca del valor real.

Desgraciadamente la medición de Al-Biruni es susceptible del mismo cuestionamiento que la medición de Eratóstenes, ya que se desconocen los instrumentos que usó (se especula que un astrolabio, que en esa época tenía una precisión de un cuarto de grado). Hay una dificultad también en determinar el ángulo del horizonte, que radica en la visibilidad que permite la atmósfera o algún accidente geográfico. Pese a las dificultades y a las objeciones que puedan presentar los “escépticos” terraplanistas, es un método de medición válido y puede replicarse por cualquiera, se suma a la lista junto con la medición de Eratóstenes, y sigue siendo uno de los tantos.

Geodesia

Después de las estimaciones anteriores y antes de la tecnología moderna como GPS o de las telecomunicaciones inclusive, muchas de las mediciones que se hicieron posteriormente sobre la forma de la Tierra comparten un elemento común: el desarrollo de la topografía y la geodesia. Antes de ver las siguientes mediciones es necesario hacer un breve repaso histórico.

Gemma Frisius

Se podría decir que toda la topografía y geodesia está basada en el método desarrollado por éste matemático y astrónomo holandés, que fué mentor de Gerardus Mercator (sí, el de la Proyección Mercator). El método es de la triangulación y es el corazón de la topografía.

En resumen, el método de triangulación consiste en reconocer sobre el terreno una serie puntos significativos como elevaciones o depresiones que servirán de vértices, marcarlos y delimitar el terreno en una serie de triángulos. Para hacerlo se resuelve un primer triángulo sobre el terreno, midiendo sus distancias y los ángulos verticales y horizontales, una vez resuelto el primer triángulo, éste sirve de base para los siguientes.

Es necesario para el método de triangulación primero precisión en las mediciones, y segundo conocimientos de álgebra, geometría plana y trigonometría. Todo un reto para los terraplanistas, pero no inalcanzable.

En 1533, Gemma Frisius propuso utilizar la triangulación para posicionar con precisión lejanos lugares para la creación de mapas. Ejerció una gran influencia, y la técnica se extendió a través de Alemania, Austria y los Países Bajos. El astrónomo Tycho Brahe aplicó el método en Escandinavia, completando una triangulación detallada en 1579 de la isla de Hven, en el que se basa su observatorio, en relación con puntos de referencia clave, produciendo un plan topográfico de la isla en 1584.

A pesar de ser un método desarrollado en el siglo XVI, la triangulación topográfica 
se sigue usando al día de hoy, con la diferencia obvia de los instrumentos usados.

Triangulación topográfica de Los Países Bajos.

Willebrord Snellius

Aunque se lo conoce más por la Ley de refracción que lleva su nombre (Ley de Snell), en 1617 el holandés Willebrord Snellius calculó la distancia entre la ciudad de Alkmaar, sede del mercado del queso más importante de Holanda, y Bergen-op-Zoom, a exactamente un grado de meridiano terrestre más al sur. Snellius unió las dos ciudades con una serie de 33 triángulos adyacentes de los cuales calculó las medidas hasta lograr la estimación de la distancia de un grado de meridiano (con un error que sabemos ahora fue de solo un 3%). La medida de Snellius proporcionó de hecho la primera estimación de la circunferencia de la tierra (38500 km) tomada directamente sobre la superficie terrestre.

El gran aporte de Snellius a la triangulación topográfica fué demostrar que se puede calcular la posición de un punto dentro de un triángulo mediante el trazado de los ángulos desde los vértices al punto incógnita. Este método se conoce como resección.

Conocidas las distancias a tres puntos P1, P2, P3 y sus coordenadas, mediante
trigonometría, se puede determinar las coordenadas del punto B del observador.

Estas visuales podrían ser medidas con mucha más precisión que los vértices geodésicos, que dependían de la lectura de una brújula. Esto estableció la idea clave para establecer la topografía de una red primaria a gran escala. De hecho, la triangulación geodésica perfeccionada con la resección fué utilizada para mediciones de precisión hasta la aparición de la red mundial de satélites en 1980.

Jean Picard

Miembro de La Académie Royal des Sciences de París fundada en 1666, hacia el año 1670 halló cuánto medía un grado de meridiano midiendo por triangulación el arco de París entre Malvoisine (al sur de París) y la torre del reloj de Sourdon (al sur de Amiens) y determinó el radio terrestre en 6329 km. Una diferencia del 0,44% lo separa del valor que se conoce hoy.

¿Elipsoide oblato o elipsoide prolato?

Una cuestión sobre la que no había consenso en el ámbito científico era la de la verdadera forma de la Tierra. Había dos grandes corrientes filosóficas.

Resulta que otro francés, contemporáneo de Picard y miembro además de La Académie Royal des Sciences, era el Director del Observatorio de París, Jacques Cassini, partidario de las ideas de Descartes, que ya gozaba de renombre en toda Europa como filósofo, geómetra y especialista en matemática aplicada. Según la filosofía cartesiana la forma de la Tierra era la de un elipsoide prolato (radio ecuatorial menor, alargado en el sentido del eje de rotación, como un huevo).

Cruzando el Canal de la Mancha, en Inglaterra, estaba nada menos que Isaac Newton, miembro de la Royal Society con su recién estrenada Philosophiæ naturalis principia mathematica. La aplicación de la Teoría de Gravitación llevó a pensar que la Tierra era un elipsoide de revolución achatado por los polos y más abultado en la línea del ecuador, a consecuencia de las fuerzas centrífugas: un elipsoide oblato. Newton trata el problema de la figura de la Tierra en las proposiciones XVIII, XIX y XX de su obra.

De manera que el interés por la mediciones geodésicas aumentó considerablemente. Si antes tenían una motivación de precisión cartográfica, pasaban en ese momento a ser una cuestión de orgullo nacional.

Para zanjar las disputas intelectuales se debían tener pruebas. Si la Tierra era un elipsoide prolato, un arco de meridiano debía ser más corto cerca del ecuador que en los polos. Si por el contrario la Tierra era un elipsoide oblato, un arco de meridiano debería ser más largo cerca del ecuador y más corto cerca de los polos.

Elipsoide prolato con arcos de meridiano de 7,5 grados.

Elipsoide oblato con arcos de meridiano de 7,5 grados.

Misión geodésica francesa

La controversia llegó a tal punto que se pudo convencer al rey Luis XV y a su ministro naval para que financiara expediciones (uno de los pretextos fué la posibilidad de abrir nuevas rutas comerciales, no era todo en pos de la ciencia).

La academia parisina resolvió por un lado mandar en 1735 una expedición geodésica a la colonia española del Perú ecuatorial (La Condamine, Luis Godín, Pedro Bouguer), y por el otro se mandó una expedición a Laponia (Pierre Louis Maupertuis con la colaboración del sueco Anders Celsius), cerca del círculo polar ártico, en 1736. Después de un tiempo y una triangulación que abarcó un arco de meridiano de sólo tres grados de latitud, y desgraciadamente para Cassini y los partidarios de la hipótesis cartesiana los resultados de las mediciones geodésicas daban indicios favorables a las predicciones newtonianas. (Ver más)

Sellos postales conmemorativos a las mediciones sobre los meridianos.

Trazado geodésico en Quito, Ecuador

Nota para terraplanistas: Cabe destacar en éste punto que las mediciones fueron objetivas. Fueron los mismos franceses encargados de las mediciones los que dieron las pruebas a favor del otro bando. El motivo principal de las expediciones era las de buscar la verdad, las mediciones no se adulteraron en favor de una postura u otra, como corresponde al verdadero método científico.

Desde la antigüedad se sabía que la Tierra era una casi esfera y se habían ideado métodos para medir su radio. Ahora además se contaba con evidencia de que la Tierra era achatada por lo polos y que su radio polar era menor que el radio ecuatorial.

Arco geodésico de Struve

Por supuesto la historia de la geodesia siguió, con el aporte de muchas personalidades de la ciencia, ampliando la red de triángulos y afinando la precisión con la evolución de las herramientas al adaptar instrumentos astronómicos como telescopios para hacer las mediciones, o la construcción de otros específicamente diseñados . Todo ésto mayormente en el ámbito de la cartografía y la precisión de los mapas.

En el ámbito científico y para afinar todas las mediciones sobre la morfología terrestre que se habían realizado anteriormente, el astrónomo alemán Friedrich Georg Wilhelm von Struve propuso un gigantesco trabajo de triangulación. El resultado de esa propuesta fué la primera medición precisa de un largo segmento del meridiano terrestre y demostración fehaciente de que la Tierra es achatada en sus polos.

Friedrich Georg Wilhelm von Struve

El trabajo fue titánico. Es la única y la primera vez que ha sido aceptada una candidatura topográfica que cruza diez países: Noruega, Suecia, Finlandia, Federación rusa, Estonia, Letonia, Lituania, Bielorrusia, Moldavia y Ucrania. Entre 1816 y 1855 distintos equipos realizaron un conjunto de triangulaciones que se extiende a lo largo de 2820 km, desde Hammerfest (Noruega) hasta el Mar Negro. El arco original tiene 258 triángulos principales con 265 puntos geodésicos de los que 34 son hoy un monumento declarado Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO en 2005.

El nodo norte del Arco de Struve, marcado por un obelisco conmemoratico en Fuglenaes, Noruega. La fotofrafía de F. Bandarin - Centro del Patrimonio Mundial de la UNESCO

Un ejemplo extraordinario de colaboración científica entre científicos de diferentes nacionalidades y asimismo de colaboración entre distintas monarquías, unidas por una misma causa científica.

Sobre la base de las mediciones efectuadas por los geodésicos en sus mediciones terrestres se estableció que el radio ecuatorial de la tierra era 6.378.361 metros, que es tan solo 224 metros más largo del que podemos determinar con las técnicas de medición avanzadas de hoy día.

Ruta de triangulación del arco geodésico de Struve. Los 34 puntos rojos corresponden a los sitios registrados como Patrimonio de la Humanidad.

Anexo: mediciones del tamaño de la Tierra:

Fecha	Observador	Lugar	Longitud del arco (grados)	Distancia de 1º (metros)
Primeros métodos
230 a.C	Eratóstenes	Egipto	7º 12'	128500
100 a.C	Posidonio	Egipto	7º 30'	107292
Siglo V	Aryabhata	India	-	111022
724	I Hising	China	32º	157520
820	Al Mamun	Iraq	2º	111000
Siglo IX	Alfraganus	Siria		113036
1017	Al-Biruni	India/Pakistán	-	110040
1525	Fernel	Francia	1º	110600
1580	Tycho Brahe	Suecia	22º	112840
Introducción de la triangulación
1515-16	Snellius	Holanda	1º 12'	107400
1633	Norwood	Inglaterra	2º 28'	111920
1645	Riccioli&Grimaldi	Francia	1º 23'	111210
1681-1701	Cassini II	Francia	6º 19'	110010
1736-37	Maupertuis	Letonia	1º 12'	111950
1739-40	Cassini III - La Caille	Francia	8º 30'	111240
1734-42	Cassini II & III	Francia	8º 20'	111210
1735-1745	La Condomine	Perú	3º 07'	110655
1751	Boscovish & Maire	Italia	2º 10'	111027
1752	La Caille	Sudáfrica	1º 13'	111165
1766	Maison & Dixon	América	1º	110670
1769	Liesganig	Hungría	3º	110863
1791-99	Delambre & Mechain	Francia	9º 40'	111113
1801-03	Svanberg	Suecia	1º	111475
1800-21	Lambton	India	15º 58'	110601
1820-30	Everest I	India	15º 58'	110634
1823-43	Everest II	India	21º 21'	110759
1816-55	Struve	Diez países	25º 20'	110837

Bibliografía y referencias

Wegner, Steven - Explicar el mundo - 2015.
Brotton, Jerry - HISTORIA DEL MUNDO EN 12 MAPAS - 2016.
Ecuador y Francia : diálogos científicos y políticos (1735-2013) - 2013.
Pep Vañó Piedra (Departamento de Física y Química IES Andreu Sempere (Alcoi)) - Arco geodésico de Struve
Página de la UNESCO sobre el arco geodésico de Struve.

La errónea "tabla de curvatura"

Al menos un par de veces cada semana me encuentro con esta tabla publicada en alguno de los grupos. Invariablemente, quien la publica lo hace con el entusiasmo de alguien que acaba de hacer un descubrimiento trascendental, y suele estar acompañado, por ejemplo, de alguna fotografía de edificios que "deberían" estar ocultos por la curvatura, pero, tal como puede verse en esas fotografías,  son parcialmente visibles. Para colmo suelen decir cosas como "son datos de la NASA!"

En otras partes de este blog (ver el post "8 pulgadas") hemos analizado con mayor detenimiento la forma correcta de calcular qué es lo que queda oculto por causa de la curvatura terrestre. En esta ocasión, ya que resulta tedioso explicar esto cada vez que alguien acude a esta tabla buscando argumentar en favor de una tierra plana, solo pretendo hacerlo por última vez.

Como podemos ver, el creador de esta tabla supone que el observador mira en una dirección paralela a la tangente de la superficie terrestre sobre la que se encuentra, de esta manera:

fig.1

Esto contiene dos errores groseros:

1. No considera la altura del observador.
2. No tiene en cuenta que en realidad, el observador debe mirar hacia el horizonte (y no... el horizonte no está "a la altura de lo ojos" ) Esto puede ser representado de esta manera:

fig.2

Supongo que esto está al alcance de la comprensión de cualquiera, incluso un terraplanista y que ya no volveré a ver esta tabla otra vez en las redes sociales. Como ya señalé, es muy tedioso toparse todos los días con lo mismo.

Detalles a considerar:

Como observan en la fig.1, tenemos un punto de tangencia (En la fig.1 lo ponemos despegado de la circunferencia para que se vea el ángulo), que nos sirve justamente para trazar una línea tangente que será perpendicular al radio. En otras palabras, entre la línea tangente y el radio se forma un ángulo recto de 90 grados. Esa línea tangente la pudiésemos considerar "a nivel" mientras se mantenga ese ángulo recto de 90 grados con el radio. ¿Para que no sirve eso? Nos sirve para calcular el desnivel de la circunferencia, o el de una esfera según la distancia.

El asunto con esta tablita, es que en la fig.3, el observador estaría justo en el suelo, y su línea de visión sería perpendicular al radio, en otras palabras, forma un ángulo recto con el radio, y así JAMÁS SE CONSIGUE NINGÚN HORIZONTE.

fig.3

Sin embargo, en la Tierra esférica, tan pronto el observador saca su línea de visión del suelo, y adquiere una altura, al dirigir su vista al horizonte, la linea de visión baja, y ya no es perpendicular con el radio, en otras palabras, ya no se forma un ángulo recto entre la línea de visión y el radio, por lo que ya no está a nivel. Ahora, el nuevo punto de tangencia lo es EL HORIZONTE, como se muestra en la fig.2 

Esto nos deja con una nueva pregunta, ¿Si pongo mi línea de visión a nivel, debería el horizonte subir al nivel de mis ojos, o debería observarse por debajo de mi nivel según me elevo más? Para contestar esa pregunta, vamos a compartir unas imágenes de nuestro compañero Sandro Gomez, que por cierto, invitó a varios terraplanistas a realizar un experimento, los mismos que hacen las afirmaciones gratuitas, basándose con la famosa "tablita de curvatura".

El compañero se fue a una playa con una estación total, (con un teodolito). Puso la estación total a nivel, y luego podemos comprobar lo de la "tablita de curvatura"; que el horizonte debería observarse por debajo de nuestra linea de visión.

Como se demuestra, el horizonte no sube al hilo axial, o no coincide con la línea de visión del teodolito, si no que se observa por debajo de la misma. Este es el video:

Si a este punto ustedes, terraplanistas, o no entienden, o no les da la gana entender; es claro que la "tablita de curvatura", cuando se considera desde lo que sería correcto, asunto que ya se dejó muy claro, termina refutando a los defensores del terraplanismo. En el video, el angulo vertical sale en el panel del teodolito como (V), y muestra claramente un angulo de 90 grados, por lo que el mismo está a nivel. A este punto, no podemos hacer más por ustedes, les dejamos una tablita interactiva, para que confirmen que eso no tiene nada que ver con un cálculo para lo que se oculta por el horizonte:

Ir a la calculadora

Música en el espacio

Hace ya unos días, cierto terraplano muy activo en Facebook hizo una publicación que, a pesar de ser absurda, no deja de tener cierto interés.

Unos meses antes (lamentablemente no pude encontrar la publicación) alguien planteaba, a modo de "demostración" de la "mentira" de la astronáutica, que resultaba ridícula la idea de enviar astronautas al espacio para que emplearan su tiempo en actividades artísticas o recreativas de cualquier tipo. Si se supone que la actividad de un científico es hacer ciencia, resulta inconcebible que puedan tener otros intereses (esto, aparentemente, demostraría de alguna forma que la tierra es plana).

Recordé entonces que el genio de la física Albert Einstein disfrutaba de ejecutar razonablemente el violín; instrumento que comenzó a tocar alrededor de los seis años de edad y también el piano. Por más que trato, no consigo imaginar a nadie intentando afirmar que su pasión por la música pudiera desmentir de alguna manera los méritos científicos que lo inmortalizaron. 

William Herschel (1738-1822) fue un famoso astrónomo. Sus contribuciones a la ciencia incluyen el descubrimiento -con un telescopio construido por él mismo- del planeta Urano en 1781. Dos años después descubrió que el Sol no estaba quieto como siempre se había creído: comparando las observaciones de diferentes estrellas relativamente "fijas", demostró que la nuestra se desplaza, arrastrando a la Tierra y al resto de su séquito planetario, hacia la estrella Lambda Herculis. También bautizó al punto hacia el que se dirige ese movimiento como ápex solar. 

Luego de dos años de trabajo completó, en 1789, la construcción de su más grande y poderoso telescopio: una especie de gigante con una apertura de 1,2 m, conocido como Telescopio de 40 pies por la longitud de su tubo. Lo apuntó al cielo nocturno por primera vez el 28 de agosto y en contados minutos descubrió la sexta luna de Saturno, Encélado. El 17 de septiembre detectó por primera vez la séptima luna, Mimas, lo que da una idea de la extraordinaria calidad óptica de ese enorme instrumento. Su telescopio mantuvo la marca de ser el mayor telescopio del mundo durante más de cincuenta años, para ser superado solamente por el "Leviatán" de Lord Rosse, que poseía un espejo de 1,98 m de diámetro.

Interesado no solo por la astronomía, también se preocupaba por la física y al analizar la naturaleza del calor, descubrió los rayos infrarrojos al hacer pasar la luz solar por un prisma y medir la temperatura registrada por un termómetro más allá de la región rojiza del espectro visible. El termómetro demostró la existencia de una forma de luz invisible más allá del color rojo.

Pueden creer que este hombre tenía tiempo para el arte? Pues sí... Herschel tocaba violín, oboe y órgano. Compuso más de 200 obras, incluyendo varias sinfonías y conciertos.

Más acá, podríamos mencionar al británico Brian May, compositor, guitarrista y tecladista del grupo "Queen", pero también doctorado en Astrofísica que ha participado de la misión "New Horizon" a Plutón.

En fin... hay muchos más, y no únicamente relacionados con la música. Otros han dirigido sus inquietudes artísticas hacia la pintura o la literatura. No podemos dejar de mencionar a un enorme genio como Leonardo da Vinci, o a Arthur Clarke, Isaac Asimov o Carl Sagan, entre otros.

Justo es decir, no obstante, que entre los "científicos" terraplanos, he encontrado a algunos con inclinaciones artísticas, especialmente DJ`s y reguetoneros. Esto demuestra que las artes y la ciencia pueden ir de la mano.