por Guillermo E. Mulvihill
Cualquiera que haya prestado un poco de atención al cielo observa que el Sol y la Luna se ven prácticamente del mismo tamaño, de hecho se puede comprobar en un eclipse total o con alguna mira graduada. También vemos a ambos recorrer el cielo en un arco de círculo. No vemos mucho más ¿Cuáles son sus tamaño reales y a qué distancia se encuentran realmente? Cualquier enciclopedia o página de internet nos dan cifras como que la distancia media al Sol es de 149597870,7 km o que el diámetro de la Luna es de 3476 km pero ¿cómo podemos comprobarlo? ¿Tenemos que confiar en los científicos o la NASA? Hoy tenemos computadoras, teodolitos, sextantes, satélites y montones de herramientas que nos facilitarían las mediciones, pero aún con esas herramientas difícilmente se le ocurra a alguien una manera de medir, y no todo el mundo tiene acceso a teodolitos o sextantes, mucho menos a satélites ¿Son cosas tan difíciles de medir que están vedadas a la gente común como nosotros?
De cualquier toda esa información no es de la era espacial (que dicho sea de paso tiene unos 60 años solamente) sino que son datos conocidos desde hace unos 2200 años, en una época en la que ni siquiera había telescopios y la tecnología se reducía a casi piedras, palos y sogas, pero sin embargo tenían lo principal: ingenio.
Lo que sigue es el relato de cómo se midieron esas distancias. Se obvian los detalles y se exponen solamente las ideas principales para poder seguir la línea de razonamiento. Pueden consultar los detalles en los comentarios o buscando en otros sitios.
Los primeros observadores del cielo de la antigüedad ya sabían que la Luna está más cerca de nosotros que el Sol. La prueba de ello es que en los eclipses de Sol es la Luna la que se interpone entre nosotros y el Sol. El Sol da luz a todo lo que vemos, incluso a la Luna, y es la que provoca sus fases. Puesto que el Sol está más lejano y se ve del mismo tamaño de la Luna, debe ser más grande que ésta. Así quedó durante un tiempo hasta que alrededor del año 200 antes de Cristo Aristarco de Samos tuvo una idea tan simple como ingeniosa.
El triángulo de Aristarco
El siguiente gran paso en ésta historia lo dió quien fué unos de los mejores astrónomos de la historia y el mejor de la época helenística. Primero observó la relación entre el tamaño de la Luna y su órbita: puesto que una órbita completa abarca 360° y la Luna se ve de poco más de 0° 32’, significa que la órbita de la Luna abarca unas 660 veces el diámetro de ésta.
Así estableció la relación entre la distancia de la Tierra a la Luna Dl en función de su tamaño Rl.
CC’ y BB’ son iguales a Rst, entonces C’S= Rs-Rst y B’T=Rt-Rst. Reemplazando
De acuerdo a lo medido por Aristarco Ds/Dl=400, entonces Ds=400*Dl, por lo que
reemplazando
Ahora, según lo medido por Hiparco Rst=2,7*Rl. Reemplazando
Operando y agrupando
y finalmente despejando llegamos a que
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El Sol siempre ilumina la mitad de la Luna, dependiendo de las posiciones del observador, el Sol y la Luna solo podemos ver cierta parte iluminada. Eso son las fases. Aristarco se dió cuenta de que cuando vemos exactamente un cuarto de Luna iluminada (creciente o menguante), nuestra posición, la Luna y el Sol forman un ángulo recto: estamos directamente en el plano de iluminación solar sobre la Luna y el Sol es por supuesto perpendicular a ese plano.
La posición del observador, la Luna y el Sol son en ese momento vértices de un ángulo recto. Midiendo el ángulo que forma la Luna y el Sol desde la posición del observador se puede obtener la relación entre la distancia a la Luna y la distancia al Sol. El cateto menor del triángulo rectángulo es la distancia a la Luna Dl y la hipotenusa es la distancia al Sol Ds. La relación entre el Dl y Ds es el coseno del ángulo hallado y es aproximadamente igual a 1/400
De ésta manera Aristarco supo que el Sol está 400 veces más lejos de nosotros que la Luna. Como corolario, usando las propiedades de triángulos semejantes de Tales de Mileto, también razonó que como sus tamaños aparentes son proporcionales a sus distancias, el Sol se ve del mismo tamaño que la Luna porque es unas 400 veces más grande que ésta. Hasta ese momento se tenía que Ds/Dl=400 y Rs/Rl=400.
en donde
Rl=radio Lunar
Dl=distancia de la Tierra a la Luna
Rs=radio solar
Ds=distancia de la Tierra al Sol
Hiparco de Nicea
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| Hiparco de Nicea; 190 a.C - 120 a.C. |
En efecto
Como un diámetro son dos radios, el tamaño de la órbita lunar es entonces de 1320 radios lunares.
por lo que la distancia de la Tierra a la Luna es de
El segundo paso se dio en un eclipse de Luna. Hiparco midió la sombra de la Tierra proyectada en la Luna y midió que la relación entre la sombra de la Tierra y la Luna es de 2,7 a 1.
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| Con cualquier foto de una Luna eclipsada con una sombra definida puede comprobarse que la sombra sobre ella tiene aproximadamente 2,7 veces su diámetro. |
Hiparco sabía que la sombra proyectada era en realidad más pequeña que la Tierra misma, y trabajando con relaciones de triángulos semejantes se puede llegar a que en realidad el radio lunar es poco más de un cuarto del radio terrestre (ver anexo más abajo).
En donde Rst es el radio de la sombra terrestre a la distancia Dl.
Resumiendo: El Radio de la Luna es 0,271 veces el radio de la Tierra, La distancia a la Luna es de 660/pi radios lunares, la distancia al Sol es 400 veces la distancia a la Luna y el tamaño del Sol es 400 veces el tamaño de la Luna.
Eratóstenes
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| Eratóstenes de Cirene; 276 a.C - 194 a.C. |
El tercer y último paso de ésta historia lo había dado Eratóstenes unos años antes con su famoso experimento de la medición del radio terrestre. No hace falta explayarse más en éste punto. El que quiera rever la medición puede consultarla en ésta entrada del blog. Ya solo nos queda reemplazar en las ecuaciones.
Los valores actuales medidos con mucha más tecnología y precisión son:
Las medidas obtenidas con el método ideado hace 2200 años son asombrosamente parecidas a las cifras actuales, asombroso es también que esas medidas se hayan obtenido sin más herramientas que los cerebros de tres hombres. Bueno, eso sin contar el palo que usó Eratóstenes para obtener la sombra. Ninguna herramienta más que el uso de la razón.
Sin desmerecer el logro y el genio de éstos tres grandes personajes, el método es muy simple y puede ser interpretado por cualquier persona sin mucha preparación: son relaciones entre lados de triángulos en las que se aplica el teorema de Tales. Así que en éste contexto, es asombroso que los "investigadores" y "revisionistas históricos" del terraplanismo no puedan dar con la ubicación de un Sol y una Luna supuestamente cercanos. Además, otra cosa que parecen ignorar éstos "investigadores" es que esas mediciones fueron comprobadas y refinadas muchas veces, incluso antes de la tecnología actual, y también se pueden encontrar en éste blog. Muchas otras mediciones del tamaño de la Tierra se pueden ver aquí. Otra manera de comprobar la distancia a la Luna usando paralaje aquí, todas concuerdan (obviamente), y existen otras mediciones de la distancia al Sol como por ejemplo la medición de la expedición de James Cook para observar el tránsito de Venus, pero eso es otra historia.
Anexo: demostración de la relación de los radios terrestre y lunar
Las relaciones entre distancias y radios se resumen en el siguiente diagrama
Por el teorema primero de Tales de Mileto podemos trazar una recta paralela al segmento AC y que pase por L.
De los triángulos LSC’ y LTB’
De acuerdo a lo medido por Aristarco Ds/Dl=400, entonces Ds=400*Dl, por lo que
reemplazando
Ahora, según lo medido por Hiparco Rst=2,7*Rl. Reemplazando
Para que la ecuación nos quede en términos de radio terrestre y lunar, reemplazamos Rs=400*Rl (por Aristarco)
Operando y agrupando
y finalmente despejando llegamos a que
