miércoles, 29 de marzo de 2017

Calculando la curvatura

por Alvaro Vary Ingweion Bayón

Pongamos que nos encontramos con el siguiente problema. Queremos saber cuánto queda oculto de un cuerpo que está más allá del horizonte. Para ello necesitamos saber tres datos principalmente: nuestra propia altura (h1), la distancia a la que está en el objeto (d), y el radio de la tierra (r).


El radio todos sabemos cuál es. Aproximadamente 6.371 Km. No obstante, es importante que tengamos en cuenta el efecto de la refracción atmosférica, que lo que produce es, principalmente, hacer que el horizonte visual esté más lejos de lo que está el horizonte geométrico. Esto equivale a un aumento virtual del radio (lo que reduce el efecto de la curvatura y nos permite ver más lejos de lo que corresponde). Para ello podemos hablar de un factor de refracción; un número que multiplicaremos por el valor del radio, para obtener ese nuevo radio virtual corregido. Podemos asumir como valor estándar de este factor de refracción 1,15; aunque es cierto que puede fluctuar según las condiciones atmosféricas. 

Una vez conocido el radio tenemos que saber cuál es nuestra altura sobre el nivel del mar. Esto nos permitirá saber a qué distancia está el horizonte. ¿Cómo? Sencillo.

Sabiendo cuál es el radio, y cuál nuestra altura (h1), podemos saber cuál es la longitud de la linea que va de O a A con una simple suma.


El siguiente paso es calcular la longitud del segmento tangente con el horizonte, que va del punto A al punto B. Esto lo hacemos con el cálculo del teorema de Pitágoras. La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Aquí tenemos uno de los catetos, que es el radio (la linea que va de O a B) y la hipotenusa, que es la que va de O a A, ya calculada, así que para calcular el segundo cateto, simplemente operamos.


Ahora tenemos el valor de la línea recta desde el observador hasta el horizonte. Pero la distancia real que apreciamos en un mapa no es la de la línea recta, sino la distancia a nivel del mar; es decir, la distancia que hay desde el punto de corte del horizonte (B) hasta el lugar al nivel del mar donde se encuentra el observador (D), y medida a lo largo de la superficie del arco. A esa distancia la he llamado d1, y se calcula a partir del ángulo que forma dicho arco, así —nota: todos los cálculos se harán con los ángulos medidos en radianes por comodidad—


Bien. Tenemos la distancia que hay desde la base del observador hasta el horizonte. Ahora, sabiendo cuál es la distancia total desde el observador hasta el objeto observado, nos queda calcular cuánto del objeto observado seremos incapaces de ver por estar bajo el horizonte; es decir, la medida que hemos denominado h2.

Para ello primero necesitamos saber la distancia que hay desde el punto de corte del horizonte (B) hasta la base del objeto a observar (E), y de nuevo, como antes, se mide a lo largo de la superficie del arco. Como conocemos cuál es la distancia total, solo tenemos que restar. 


Y el cálculo a realizar ahora, es básicamente el inverso al que hemos hecho hasta ahora. Sabiendo la distancia, lo primero que tenemos que hacer es calcular el ángulo —Insisto, en radianes—. Algo sencillo.


Ahora podemos calcular la longitud del segmento recto que va desde B hasta C haciendo la tangente y multiplicándola por el radio.


En este punto tenemos los dos catetos del triángulo rectángulo, por lo que calcular la hipotenusa ha de ser algo muy fácil.


Sabiendo este dato, ahora solo tenemos que restar el radio de la tierra para obtener h2.


EJEMPLO: Pongamos que estamos en un lugar elevado a 400 metros de altura (=0,4 Km), y tenemos una montaña lejana a 200 Km de distancia. El radio de la tierra es de 6 371 Km y tenemos un índice de refracción de 1,2, lo que nos hace un radio virtual corregido de 7 645,2 Km. ¿Cuánta parte de la montaña queda oculta tras el horizonte?


970 metros de montaña quedan ocultos tras el horizonte.

Espero que con esto, de una vez por todas, la gente deje de cometer errores en los cálculos, ¿vale, Óliver Ibáñez?

Hagamos una cosa más. Siempre dicen que la caída es algo así como de 8 pulgadas por cada milla al cuadrado. Es decir, que al avanzar una milla, caen 8 pulgadas. A las 2 millas caen 32 pulgadas (2 al cuadrado es 4, por 8 es 32), a las 3 millas 71 pulgadas, a las 4 millas la caída es de 128 pulgadas, y así sucesivamente. Sinceramente no sé de dónde se sacan esa fórmula, pero así parece que es como se usa: (ver enlace). Es conveniente echarle un cálculo a ver hasta donde funciona y dónde deja de funcionar. La fórmula del que llamaré «Método Dubay» establece la siguiente ecuación (altura (h) en pulgadas, distancia (d) en millas): 


Se me ha ocurrido hacer una tabla en la que se comparen (tanto en millas como en kilómetros de distancia, tanto en pulgadas como en metros de altura) ambas fórmulas, la que yo he desarrollado, puramente matemática y asumiendo que no exista refracción, con la fórmula de las ocho pulgadas por milla al cuadrado.


Si consideramos el error acumulado en función de la distancia, y tal y como se ve en la tabla, vemos que la fórmula funciona muy bien (con un error inferior al 5%) hasta una altura que se encuentra entre los 213 y los 852 kilómetros. Dado que la ISS orbita a unos 400 modestos kilómetros de altura, incluso los cálculos que se hagan teniendo en cuenta a un observador que esté allí arriba podrían realizarse con esta ecuación simplificada sin acumular mucho error —en concreto, a 400 Km de altura, el método trigonométrico nos da unos 2200 Km de distancia al horizonte, mientras que el método de las pulgadas nos coloca el horizonte unos 60 Km más lejos; un error acumulado de tan solo 2,6%

Para que el error empiece a ser significativo (por encima del 5%, como digo) tendríamos que ascender hasta los 783,5 Km de altura. Ahora bien, a medida que nos vamos alejando a partir de ese punto, el error acumulado se dispara a tal magnitud, que si observásemos la tierra desde la luna (unos 384.400 Km), y usando el cálculo trigonométrico tendríamos (es evidente) el horizonte a poco más de 9.900 Km. Esta sería la distancia de arco que podríamos observar desde el centro de la superficie observable hasta el extremo; dado que la circunferencia del planeta ronda los 40.000 Km, es congruente que desde la luna veamos 9.900 Km, que multiplicado por 2 para hacer el cálculo de extremo a extremo resultan 19.800 Km, que es casi la mitad; no estamos aún lo suficientemente lejos para ver la media esfera completa, pero casi.

Sin embargo, con el método de las pulgadas, nos sale que estamos observando nada más y nada menos 70.000 Km desde el centro hasta el extremo, es decir, que la media circunferencia visible de extremo a extremo mediría 140.000 Km, que en el mundo real es la circunferencia ecuatorial de la tierra multiplicada por 3,5. El error acumulado aquí es de 607%.

Para ver ese error acumulativo con más facilidad, podemos representar los valores en una gráfica. En el eje vertical —y en escala logarítmica— he representado la altura a la que se encuentra el observador, en metros. En el eje horizontal —y también en escala logarítmica— se representa la distancia a la que se encuentra el horizonte. La linea gris representa la diagonal (relación exacta entre altura y distancia)


Dado que se considera la posición central como el punto vertical en el que se encuentra el observador, y estamos midiendo la distancia hasta el horizonte, es obvio que la distancia entre horizonte y horizonte será el doble. De ahí que el valor máximo que podemos alcanzar sea de 10.000 Km, que es la cuarta parte de la circunferencia completa, unos 40.000 Km. Esto es porque lo máximo que podemos ver de una esfera es justo la mitad de la misma que mira hacia nosotros, y por mucho que nos alejemos no podremos ver más. La mitad de la esfera haría que de un extremo del horizonte hasta el otro sean 20.000 Km, por lo que, desde el punto central hasta el horizonte la máxima distancia visible posible es 10.000 Km, tal y como se ve en la gráfica, donde los puntos verdes generan una asíntota. Los valores no superan esa linea verde por mucho que aumentes la altura.

Sin embargo, usando el «método Dubay» (puntos azules) vemos que no aparece un límite. Los valores siguen creciendo de forma ilimitada mucho más allá del límite real de visibilidad.

Sin embargo, sí que podemos decir que para alturas cotidianas, el «método Dubay» funciona —y he de decir que, sinceramente, me ha sorprendido este hecho—. Si bien tiene sus limitaciones —como que no sirve para alturas superiores a los 700 Km, y que tampoco permite hacer correcciones respecto a la refracción atmosférica—, funciona. Punto positivo para los terraplanistas en este aspecto.

Quizá para los que usamos el sistema métrico, como yo, que el enunciado esté formulado en pulgadas y millas no es para nada cómodo. Propongo la alternativa que, aunque no queda tan bonita y tan redonda como la que proponen los terraplanistas, se puede usar igualmente empleando los metros y kilómetros a los que tan acostumbrados estamos nosotros. De este modo, las ecuaciones son las siguientes (la altura (h) en metros, la distancia (d) en kilómetros):

Para calcular la altura sabiendo la distancia:


Para calcular la distancia sabiendo la altura:


Recordemos no obstante que la mayor parte de las veces el fallo de los argumentos terraplanistas es que consideran la altura del objeto y la distancia a la que está, sin considerar la altura del observador. Para, empleando el «método Dubay», establecer un cálculo correcto, habría que hacerlo como se narra en la primera parte del artículo, solo que en lugar de hacer los cálculos de tangentes y demás, bastaría con aplicar estas dos últimas ecuaciones para cada una de las dos partes del cálculo. Primero hay que calcular la distancia del horizonte (d1) a partir de la altura del observador (h1) siguiendo la primera ecuación. Después, conociendo la distancia total (d) y la distancia del observador al horizonte (d1), restar para obtener la distancia entre el horizonte y el objeto (d2). Y por último, a partir de esta distancia (d2), calcular la altura de ocultación del objeto que observas (h2) a partir de la segunda ecuación.

Finalmente, les dejo una pequeña hoja de cálculo que pueden utilizar:

Click sobre la imagen para acceder




42 comentarios:

  1. Hola, tomando tu ejemplo de la montaña que estaria oculto 970 mts de la misma tras el horizonte, si yo divido los valores por 10, o sea, hago otro ejemplo: Yo en un edificio, a 40 metros de altura, miro al horizonte, hacia otro edificio a 20 kilometros de distancia, el mismo no seria visible salvo que tenga mas de 97 metros de altura, o sea que suponiendo que fuese un rascacielos de 100 metros, ¿solo podria ver su punta y en plano inclinado ? O dicho de otra forma, todo lo que tenga menos de 97 metros de altura no podria verse a 20 kilometros de distancia ... en la realidad sabemos que esto no es asi... dame un poco de luz...

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    1. No puedes sencillamente dividir por diez y obtener el resultado. La relación no es lineal. De hecho, a 40 metros de altura, tu horizonte se halla a más de 22 km de distancia, por lo que un edificio ubicado a 20 km será completamente visible.

      Respecto de su inclinación, será de la quinta parte de UN grado, o sea prácticamente nada, y la inclinación será hacia atrás, no hacia cualquiera de los lados, así que no hay manera de que pueda ser apreciada.

      puedes verificar estos valores aquí: http://dizzib.github.io/earth/curve-calc/index.html?d0=20&h0=40&unit=metric

      o puedes modificarlos para obtener los resultados que te interesen, pero teniendo en cuenta que estos valores no consideran la refracción de la luz, que varía según las condiciones de humedad, temperatura, etc.

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    2. No entendi muy bien donde dices que la inclinación seria hacia atras, si yo cambio la perspectiva y en lugar de observar el edificio desde tu supuesto frente y me muevo 90 grados como deberia de ver a dicho edificio? Tambien inclinado "hacia atras"? y somos 3 personas observandolo de diferentes puntos manteniendo las mismas condiciones para no alterar la ecuación que ocurriria? No digo que estes equivocado, tambien trato de encontrar la curvatura terrestre pero intentandolo me di cuenta que el heliocentrismo necesita mucho mas actos de fe que el geocentrismo.

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    3. themakanaki. Desde el punto de vista de cualquier observador, el edificio estará inclinado "hacia atrás". Siempre. Los tres observadores lo verán así, incluso si están de lados opuestos. Aunque te desplazaras siguiendo una trayectoria circular alrededor de ese edificio, siempre lo verás, desde cualquier punto de esa trayectoria, inclinado hacia atrás.

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  2. Un francotirador recientemente abatió a una persona desde 3,5 km, es esto posible ? estando acostado el francotirador y suponiendo que la persona mide 1,80 metros. Pudo llegar a verlo por la curvatura de la tierra ?

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    1. Suponiendo un terreno absolutamente plano, con el tirador cuerpo a tierra, con sus ojos a 20 cm del suelo, no será capaz de ver los 28 cm inferiores de su blanco

      http://dizzib.github.io/earth/curve-calc/index.html?d0=3.5&h0=0.2&unit=metric

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  3. Buenas tengo una duda, hice una pequeña prueba y no me queda claro este calculo, desde la costa de marruecos ( 35°15'31.27"N - 2°55'1.72"O) hay dias que las Islas Chafarinas ( 35°10'25.43"N - 2°26'59.21"O)se pueden ver claramente, estan a una distancia de 43.57km y la altura maxima de la isla mas alta es de 175m, bien no solo se ven si no que usando un telescopio he podido llegar a ver barcos navegando por detras de estas islas, ¿es esto posible?

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    1. Por DETRÁS de las islas? Son transparentes?

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    2. se meten x un lado y aparecen x el otro..si tengo que explicar esto....

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    3. La observacion la realizas desde la costa, a nivel del mar? que altura tiene el telescopio? y por ultimo, alcanzas a ver los barcos completamente? En teoria, si tu telescopio esta a una altura de 1 metro, podrias ver aprox 50 mts de la isla aun visible, esto sin considerar el efecto de la refraccion.

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    4. Hola Harlock, con buena visibilidad se ve mucho mas allá de 50 km, es absolutamente normal y está probado en muchos casos. Saludos

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    5. La refracción optica no deberia verse espejada? no seria algo asi como cuando vemos el reflejo de un arbol o paisaje sobre un lago? Nunca vi un reflejo con el mismo sentido que mis ojos persiven la realidad.

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    6. themanaki, reflexión y refracción son dos cosas diferentes.
      https://www.fisicalab.com/apartado/reflexion-refraccion-luz#contenidos

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  4. En Buenos Aires en el Río De La Plata se ve el muelle del Puerto De Conchillas en Uruguay a 50 km, con binoculares se ve todo Uruguay.

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    1. tal vez consigas ver ALGO desde algún edificio realmente alto, a nivel del río, es imposible

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    2. Al ras del río en la calle San Martín de Vicente lópez en Buenos Aires se ven las luces del puerto de Conchillas, la papelera de al lado y mas al Sur Colonia. También se ven claramente todas las boyas en los veriles del canal Mitre a mas de siete km y el puerto de Buenos Aires. Hoy hay buena visibilidad venite yo te presto los binoculares.

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  5. Para que lo refuten, más de 2600 km, Suiza-Argelia, prácticamente norte-Sur, ahora presten atención a las estrellas
    http://refutandotp.blogspot.com.ar/2017/03/calculando-la-curvatura.html

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    1. para qué pones el enlace a este mismo post? No se entiende que quisiste hacer

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  6. jajaja tantas vueltas que se tienen que dar para responder la visibilidad de una isla a otra y tan obvio... no existe curvatura, hagan los cálculos que estimen para mentirle a la gente.

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  7. Disculpa pero estas haciendo cualquier cálculo matemático. Trata de utilizar bien los datos de la "nasa" o wikipedia y veras que Eric Dubay tiene razon. No hay tal curvatura ya que seria imposible para mi ver la cordillera de los andes desde la costa de Chile o incluso ver Buenos Aires desde Montevideo con telescopio. Lo resondo se te fue a la cabeza me parece.

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    1. Desde Montevideo NO existe manera de ver Buenos Aires Traza una línea en un mapa entre estas ciudades y luego me cuentas.

      Buenos Aires puede verse, sí, desde COLONIA. Pero únicamente los niveles superiores de los edificios altos

      Ver:
      https://refutandotp.blogspot.com/2017/05/astronomia-zetetica-s-rowbotham_8.html)

      En cuanto a la cordillera de los Andes desde la costa chilena, así expresado no sirve. Debes indicar qué punto de la cordillera ves, desde qué punto exacto de la costa. Distancia exacta, altura del observador y altura de las montañas visibles, de lo contrario, no se puede decir nada.

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    2. Desde Colonia se ve todo los días claros, no solo los edificios altos, lo que parece no verse en la base es por el efecto de fata morgana. De todos modos si fuera por las tablas de cálculo de la curva tampoco se verían los edificios. Vivimos en un plano muchachos, en 2017 es ridículo pensar que vivimos en una bola giratoria mojada que vuela.

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    3. No. Rolando. Fata Morgana on oculta nada, por el contrario, las eleva (y las muestra invertida, además)

      Buenos Aires es perfectamente razonable que sea visible desde Colonia (ver el enlace que he dejado más arriba)

      Obviamente, jamás has hecho ningún cálculo, verdad?

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    4. La discusión no es sobre mi, lo mío no son teorías hace mas de cincuenta años que vivo en el río y tengo todo calculado, si venís después de un pampero ves todo, te puedo prestar los binoculares. De paso ves lo que es fata morgana fuera de los cálculos de tu departamento capo. Saludos

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    5. Tienes "todo calculado"... sería interesante verlos.

      No pongo en duda que vivas en el río, solo digo que el hecho de que se vean los edificios de Buenos Aires desde Colonia no constituye ningún prodigio.

      E insisto, el Fata Morgana es otra cosa completamente diferente a lo que suelen decir ignorantes como Iru Laducci y otros.

      Quieres saber qué es el efecto "Fata Morgana"?
      https://refutandotp.blogspot.com.ar/2016/11/el-fenomeno-fata-morgana.html

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  8. Creo que no habías nacido cuando yo veía la fata morgana en la ruta los desiertos y el agua, de niño ya navegaba, en los cursos de náutica siempre hubo de estos cálculos basados en una esfera, los instructores siempre te dicen que son solo una referencia no son reales, solo valen a ojo limpio, sin instrumentos de visión. Todos los días desde mi ventana veo el río. Hice todos los cálculos, los barcos y las boyas a distintas distancias nunca se ven sobre un domo de agua antes de Uruguay como me dicen los los que descubrieron fata morgana hace un rato y me mandan a estudiar. Cuando vengas te voy a señalar cada boya, cada puerto y ciudad que tengo calculados por la observación de décadas, es observable y comprobable. Los fanáticos de la nasa en vez de refutar la realidad deberían exigir que pongan una webcam en la luna y se acabaría la discusión, si hay un robot en marte poner esa cámara sería facilísimo y mucho mas útil para la humanidad. Avívense muchachos que nos engañaron a todos, por suerte ahora hay información. Abrazos

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    1. NO sé que edad tienes, pero dudo que seas mayor que yo.

      Y yo, compañero, he pasado toda mi vida en el mar. He sido marino mercante toda la vida, he navegado varias veces en todos los mares del mundo y no puedo ni imaginar cuántas veces lo hice en el Río de la Plata. Eso que te dijeron (que son referenciales y no reales) es la estupidez más grande que alguien pudo haberte dicho.

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    2. Ah disculpe, es que el argumento de decir que nunca hice un cálculo para refutar lo que le digo que veo todos los días me pareció el berrinche de un niño caprichoso.
      Y cuando navegaba, ¿veía que constantemente estaba bajando en una esfera hasta quedar al revés en china o iba siempre en un mar plano? ¿Veía el horizonte curvo? ¡Cree que habría tsunamis girando una esfera?
      Siempre va a estar a tiempo de venir una noche al espigón de Olivos y le mostraré las luces del muelle del puerto de Conchillas, la papelera de al lado y mas allá las luces de Colonia, no le voy a mostrar teorías cálculos ni dibujos, confíe en mi va a ver que es cierto.

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    3. escuchame rolando, en serio crees que por ver algo esto es cierto? tan poderosos crees que son nuestros ojos? hay miles de variables que limitan lo que podemos ver... no porque no veamos algo esto deja de ser cierto, o si a vos te diagnostican un tumor en la cabeza, no lo vas a creer porque no lo podes ver? es un acto de fe? o es un hecho? hay tantas cosas que no podrian pasar en una tierra plana, pero lo que me da mas risa, es que uds algunas cosas de la ciencia oficial la toman como verdadera (como la atmosfera), pero otras no, son un chiste, es mas estupido pensar que vivimos en un disco que sube sin explicacion cientifica alguna en el cual tiene dos pelotas que giran alrededor de ella (que conveniente que el sol y la luna si sean esferas, igual que los demas planetas, pero la tierra sea un plato), hacele un favor a la gente e informate, la edad no hace la inteligencia ni al conocimiento, vos sos un ejemplo de esto...

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  9. ¿Cuál sería la distancia máxima a la que se podría ver un objeto, ambos a la misma altura? ¿La refracción podría verse afectada si se utilzia algo más que la visión humana, como por ejemplo un telecospio o una cámara con un zoom potente? Pregunto porque en el artículo publicado noto que se refutan ciertas cosas pero no se establecen claramente límites, los cuales de definirse estarían buenos para testear y me explico un poco más, se refutan distancias mal calculadas, pero no se entrega un ejemplo de prueba para que se evidencie que esto no resulta así.

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    1. La distancia máxima de dos objetos estando ambos a la misma altura, sería la distancia del horizonte x2

      Y no, telescopios y zooms no cambian el efecto de la refraccion, solo amplian la imagen.

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  10. Una Pregunta, ¿sería posible ver el atardecer una hora y media después que el Sol ya no incide en el huso horario...?
    ¿y que al mismo tiempo una persona 15 husos horarios antes pueda ver el amanecer 90 minutos previos a que el Sol toque su huso horario...?
    véase https://www.youtube.com/watch?v=KpV2ZgN6T_8

    Quiero refutar a los Terraplanistas, más no encuentro la interpretación del experimento...

    ¿me dan una manito con ésto? por favor!

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    1. si te refieres a la parte en que muestra que el sol puede verse en Australia e Inglaterra, consideremos que hay sol a las 9pm en Europa, por lo que evidentemente es verano. Por lo tanto el sol se encontrará sobre el trópico de Cáncer.

      Así, una vista con el Google Earth nos muestra que el sol puede iluminar Ambos sitios simultáneamente.

      Ver:
      https://drive.google.com/file/d/1Mc9xBi_PejFJvWbz6wpoLs_ldqPi0N6g/view?usp=sharing

      Si esto no responde tu pregunta, por favor señala el punto exacto del video en el que mencionan aquello que te provoca la duda. Todas las demás consideraciones previas que ha hecho en el video, están respondidas en este blog

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  11. Por que en ves de numeros no ponen prueba visual y asi seria mas efectivo pero nunca lo hasen,parecen que le tienen miedo a los hechos de la realidad,por cierto ayer yo y mi mujer vimos las nubes pasando por ensima de la luna.

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  12. Muy buenas, vivo en Tenerife en las Islas Canarias. En Tenerife se encuentra el Teide con 3718 m de altura desde el nivel del mar. Lanzarote, otra de las 7 islas se encuentra a unos 300 km de distancia y su punto más alto está a 670 metros. Suponiendo un día claro, ¿Se podría ver el Teide desde Lanzarote en su punto más alto?
    Gracias y disculpen la ignorancia

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    1. Deberían verse sin problemas al menos 139 metros, y eso sin contar la refracción, por lo que debería poder verse todavía más. De todas maneras, 300 km son muchos, así que debería ser un día particularmente claro. Ahí está el cálculo:

      http://dizzib.github.io/earth/curve-calc/index.html?d0=300&h0=3718&unit=metric

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    2. ok gracias!!;)

      Bueno, ¿y si en vez del punto más alto estuviese a nivel del mar??...suponiendo día claro y por supuesto con telescopio y tal....bueno tal vez la pregunta correcta sería esta, ¿a cúantos metros se dejaría de ver el Teide (3718 m a nivel del mar), si estoy a 300 km de distancia?...no sé si esto se puede calcular....disculpa mi gran ignorancia Sergio

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    3. Es por una foto en concreto que encontré y es que no parece estar sacada desde el punto más alto, aunque tampoco a nivel del mar, y sin embargo se ve prácticamente todo el Teide...
      Puedo enviar por aquí la foto en cuestión?

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    4. en la pestaña "herramientas", en la parte superior de este blog, encontrarás un calculador de curvatura, el mismo que usé para mi respuesta anterior. Intenta con él, probando distintas alturas, y te dirá cuántos metros quedan ocultos según la altura del observador. Cualquier resultado mayor a 3718 m significará que no es visible, pero debes tener en cuenta que es solo el calculador geométrico, sin considerar la refracción atmosférica, que depende de muchos factores tales como la temperatura, por ejemplo.

      Inténtalo y cualquier consulta que desees hacer, me avisas

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    5. respecto al Teide...
      No. No puedes enviar fotos por acá. No hay manera de hacerlo.

      Envía tu material, junto con todos los datos que puedas obtener, a refutandotp@gmail.com

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  13. ok genial, muchas gracias!!

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