Midiendo la Distancia a la luna mediante el Paralaje durante un Eclipse

por Federico Gonzalez,

Iván Fernández

y Luis Espinoza

El paralaje es esa curiosa característica de la perspectiva, según la cual, si ponemos nuestro dedo frente a nosotros y cierras los ojos de forma alternada, veras un cambio en la posición aparente del dedo respecto del fondo fijo. si trazamos unas lineas desde nuestros ojos hasta el dedo, y otra linea que conecte ambos ojos, obtenemos un triángulo. Esto es muy útil, porque gracias a esto y un poco de trigonometría, podemos medir distancias sin usar una regla física.

A continuación explicamos lo que hemos realizado y los pasos a seguir para el calculo de paralaje en el eclipse lunar del 21 de enero de 2019, a las 4:00 UTC, Federico desde Canelones (Uruguay), e Iván Fernández desde Almería (sur de España), tomaron una foto coordinada de la luna usando ambos la Nikon P900, con idénticos ajustes para las 2 cámaras, 300mm de distancia focal, ISO 800, 2 segundos de exposición, y apertura de diafragma en F5. 

La distancia entre ambos observadores es de 9.740 kilómetros.

Foto desde Uruguay

Foto desde España

Si tenéis buena vista, seguramente ya notareis las estrellas de fondo, pero, para una mayor claridad, le subiremos el brillo a las fotos, además rotaremos la foto de España y la superpondremos sobre la foto de uruguay, de modo que todas las estrellas encajen unas sobre otras, de ese modo, podremos apreciar el cambio de posición de la luna por el paralaje.

Ahora lo que necesitamos hacer, es averiguar de cuantos grados es el desplazamiento de paralaje que estamos observando en las fotos, en photoshop hay una herramienta de medición llamada regla, que nos permite medir distancias en píxeles dentro de las fotos. de este modo, podemos medir la distancia entre ambas lunas desde el centro de cada luna, y obtenemos que la distancia en píxeles que se desplaza la luna de una foto a otra son 981 píxeles. (click sobre la imagen para ampliarla)

El paso siguiente es medir el diámetro de la luna en pixeles, y el resultado obtenido es que la luna mide 386 pixeles. (click sobre la imagen para ampliarla)

Aquí hay un dato importante: Sabemos que el diámetro angular de la luna en la noche del eclipse, era 33,7 minutos de arco, o 0,56 grados. por lo tanto, 386 píxeles son equivalentes a 0.56 grados de diámetro angular. sabiendo cuantos grados son 386 píxeles, y sabiendo que la separación de paralaje entre las lunas es 981 píxeles, podemos hacer una regla de 3, y averiguar de cuantos grados es el paralaje lunar.

Multiplicando 981 por 0,56 da 549,36. Ese resultado lo dividimos por 386 y el obtenemos que los grados del paralaje lunar son 1,4232 grados

Ahora que sabemos los grados del paralaje, podemos empezar con la trigonometría y hacer los cálculos para obtener la distancia hasta la luna.

Para ello, tenemos que imaginarnos un triangulo de observación, con base de 9740 kilómetros, y entrelazados por un angulo de 1,4232 grados. Tal como en esta representación, en donde el ángulo A y B son nuestros ángulos determinados por el paralaje lunar.

El siguiente paso que hay que hacer, es dividir el triangulo de observadores por la mitad, para obtener un triángulo rectángulo;. eso significa dividir la distancia de observadores por la mitad, y dividir el ángulo de paralaje por la mitad, eso nos da un triángulo rectángulo con base de 4870 kilómetros y un ángulo de 0,7116 grados en su parte superior. Dicho triángulo tiene ahora una línea central vertical, a la que llamaremos línea X, y es la que contiene la distancia hasta la luna, es la línea que buscamos resolver.

Ahora ya solo queda una cosa por hacer: En nuestra calculadora favorita, dividimos la distancia entre los observadores de 4870 km por la tangente de 0,7116 grados, y obtenemos una distancia hasta la luna de 392.096 kilometros! y esto sin siquiera considerar la curvatura de la tierra!! es decir, este resultado aplica para una tierra plana, tal como lo hemos representado. me pregunto como van a justificar ahora los terraplanistas que la luna se oculte en el horizonte. Esto, además, nos da también la altura mínima del sol, puesto que, dado que la luna pasa frente al sol en los eclipses solares, 392.000 kilómetros es la mínima distancia a la que puede estar el sol terraplanista.

Por supuesto, al haber considerado esto en una tierra plana, hay un margen de error comparado con la distancia real a la luna el 21 de enero, la cual, era de 354.821 kilómetros para la hora de captura de las fotos y la ubicación de los observadores.

Esto se soluciona si asumimos que la tierra es una esfera con 6371 kilómetros de radio, y procedemos a calcular el segmento circular de una esfera para obtener la verdadera distancia entre los observadores. 

La distancia suministrada por Google Earth, es una distancia que sigue la curvatura y no una línea recta, nosotros necesitamos la distancia en linea recta entre los observadores.

En este diagrama, la distancia por debajo de la curvatura que necesitamos se llama "longitud de la cuerda", para obtenerla, debemos averiguar el ángulo que hay en el centro de la esfera, dicho ángulo podemos obtenerlo usando la longitud de arco, que no es mas que la distancia obtenida del Google Earth, y el radio de la tierra de 6371 kilómetros.

El procedimiento es el siguiente: el ángulo en radianes entre los observadores, se obtiene dividiendo la distancia entre los observadores por el radio de la tierra; para pasarlo a grados, se multiplica por 180 y se divide por el número PI. El resultado será el ángulo del centro, y conociéndolo, podemos obtener la longitud de la cuerda.

Entonces, 9740 dividido por 6371 nos da 1,5288023858107

Ese número lo multiplicamos por 180 y nos da 275,18442944592

Este resultado lo dividimos por el numero PI y obtenemos que el angulo central es 87,5939 grados.

Finalmente, nos vamos a la calculadora de segmento circular, ponemos el radio de la tierra y el ángulo, y obtenemos la longitud de la cuerda, que resulta ser de 8819 kilómetros.

Ahora que tenemos la distancia entre los observadores en una esfera, procedemos a hacer el mismo procedimiento de antes, dividimos 8819 a la mitad y nos da 4409 km, dividimos a la mitad el angulo de 1,4232 grados, luego dividimos 4409 km por la tangente de 0.7116 grados, y obtenemos una distancia a la luna de 354.980 kilómetros. Ahora el resultado es casi idéntico al oficial, solo hay 159 kilómetros de diferencia, o lo que es lo mismo, el margen de error entre nuestra medición y el cálculo es de solo el 0,04%

Con esto, vemos como todos los cálculos cuadran perfectamente en una tierra esférica, también podemos aplicarlos en una tierra plana, y el resultado es que la luna esta mucho mas lejos de lo que el modelo terraplanista es capaz de soportar.

Este post es una versión resumida para este blog, del experimento de paralaje lunar que pueden ver completo aquí:

Recursos útiles

• Calculadora de segmento circular: https://es.planetcalc.com/1421/
• Calculadora científica: https://web2.0calc.es/