Otra breve historia de las mediciones terrestres: determinación de la masa de la Tierra y la constante gravitacional.

por Guillermo E. Mulvihill

Aunque los terraplanistas juren y perjuren que nunca se comprobó que dos cuerpos se atraigan entre sí, la realidad es que la cantidad de evidencias es abrumadora, tanto en la vida diaria como en aplicaciones específicas. Una simple caída libre, la flotación, los acelerómetros de cualquier teléfono celular o la prospección gravimétrica en minería, en las que se usan gravímetros para localizar yacimientos minerales son ejemplos de ello. Además de las aplicaciones diarias de la gravedad, en el ámbito de la ciencia, hay cerca de 300 experimentos en los que se determinó la constante gravitacional G y la masa de la Tierra y el de Cavendish es solamente uno de ellos.


Introducción y consideraciones previas

Basándose en las observaciones de sus predecesores y en la de su mentor Tycho Brahe principalmente, Johannes Kepler termina de enunciar en 1618 las tres leyes que describen con perfección matemática el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Unos pocos años más tarde, también continuando una línea de trabajos científicos desde Aristóteles hasta  Galileo, Isaac Newton desarrolla su mecánica de los cuerpos en movimiento enunciados también en tres leyes. En lo que fué para muchos el momento de inspiración científica más importante de la historia, Newton pensó que la mecánica que hace caer una manzana es la misma que rige los movimientos planetarios. Partiendo de esa hipótesis, de sus tres axiomas, y de la tercera ley de Kepler, llegó a que la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

(El símbolo "∝" significa "proporcional"). Necesariamente, se debía incluir además una constante de proporcionalidad, que diera la intensidad de la fuerza expresada en las unidades correctas. Por convención se denomina con la letra G y se la conoce como "constante de gravitación universal". La forma de la ley de gravitación universal  que todos la conocemos queda:

Aunque no se conocía su valor, fue obvio que debía ser muy pequeño: un planeta del tamaño de la Tierra atrae una manzana que cae con una fuerza MUY escasa en comparación a su masa.

Sabiendo que F=m.a; y en particular conociendo el valor de aceleración gravitatoria g en la superficie, puede desarrollarse y llegar a:

Así que en definitiva, Newton logró explicar cualitativamente mediante su ley, la atracción entre masas, pero no pudo cuantificarla. Quedaba una ecuación con dos incógnitas (irresoluble). Era necesario encontrar Gt o bien Mt. Rt ya había dejado de ser una incógnita, gracias a las mediciones que se venían haciendo desde los tiempos de Eratóstenes y que vimos en un artículo previo. Tampoco se dió a la tarea de idear un experimento lo suficientemente preciso para determinar el valor de G, ni tampoco para hallar  Mt, aunque sugirió los métodos:

• Medir la atracción en el laboratorio de dos cuerpos de masas conocidas y separados entre sí por una distancia conocida, a fin de determinar G.

Dada la aparente pequeñez que debía tener G, la medición de un experimento de ese tipo es de mucha precisión. Sobre éste primer método escribió que dos esferas de densidad igual a la de la Tierra y de 1 pie de diámetro "si distasen entre sí solamente 1/4 de pulgada, no se unirían por la acción de su atracción mutua, incluso sin rozamiento, en un tiempo menor de un mes... De hecho, incluso montañas enteras, no serían suficientes para producir un efecto notable."

• Medir la desviación de la plomada respecto de la vertical cerca de una montaña de masa calculable "M" para estimar la relación Mt/M y por lo tanto Mt.

Y sobre éste segundo método sugerido escribió que “Toda una montaña no sería suficiente para producir un efecto apreciable. Una montaña de tres millas de alto y seis de ancho desviaría el péndulo apenas dos minutos de arco con respecto a la vertical; solamente en los planetas este efecto se podría apreciar.”

Si bien dos minutos de arco es un ángulo minúsculo, podía medirse con cierta precisión con los instrumentos de la época, así que los primeros intentos de medir la masa terrestre fueron con éste método.

Posteriormente se desarrollaron otros métodos como la balanza de torsión, el péndulo gravimétrico o el cálculo por gradiente gravimétrico.


En orden cronológico, el experimento Cavendish fué la tercera vez en que se estableció el valor de la constante G y la masa de la Tierra (si no se tiene en cuenta los primeros intentos de Bouguer en el Virreinato del Perú), pero una lectura de los primeros intentos por parte de Bouguer y las dos primeras estimaciones del propio Newton y Maskelyne bastan para comprender por qué es el más citado y se considera uno de los más importantes.

Primer estimación de la masa terrestre: Newton - 1687

La primer estimación de la densidad de la Tierra fue del propio Newton, que aunque no pudo establecerla empíricamente, si pudo estimarla heurísticamente, después de todo, la búsqueda de la relación matemática con la que interactúan los cuerpos fué uno de los trabajos de su vida.

Su estimación fue de entre 5000 y 6000 kg/m³ y la línea de razonamiento puede leerse en su Principia, Libro III, Proposición X, Teorema X.

Primeros intentos empíricos: montañas y péndulos
Desviación de una plomada cerca de una montaña
El concepto es sencillo: una masa grande como la de una montaña sería capaz de desviar la vertical de una plomada. La desviación de la plomada tendrá una componente horizontal producto de la atracción de la montaña, y una componente vertical producto de la atracción de la Tierra. Midiendo la masa de la montaña y sabiendo la relación entre las desviaciones del péndulo, puede estimarse la masa de la Tierra.

El ángulo de desviación es la diferencia entre el cénit real, determinado mediante astrometría, y el cénit aparente, según la posición de la plomada.

Aunque la predicción fue del orden de los segundos de arco, medir la desviación sobre un péndulo que produce la montaña es la parte relativamente sencilla, la dificultad radica en conocer la masa total de la montaña. Para comprender la dificultad  podemos hacernos una idea rápida de lo que implica determinar esa masa. Sabemos que la masa de una montaña se puede obtener si conocemos su densidad media y su volumen, entonces:

Para obtener su densidad media baste saber que no es homogénea, de manera que determinar su densidad es determinar la densidad media de varias muestras tomadas en puntos significativos. Mientras más muestras, más aproximada será la media al valor real.

Para obtener su volumen, también debemos observar que comúnmente la forma de las montañas son irregulares, de manera que obtener su volumen implica un trabajo de agrimensura en que se aproxime su forma mediante triangulación de puntos fijos medidos en toda su superficie. Mientras más puntos fijos, más aproximado será el volumen calculado al volumen real.

Además de la poca desviación sobre el péndulo, de los dos puntos anteriores podemos ver que los errores aleatorios inherentes al muestreo son inevitables, se requiere mucho trabajo y medidas muy precisas para aproximar los valores de densidad y volumen de una montaña dentro de márgenes de error aceptables. Para minimizar éstos errores lo lógico es elegir primero la montaña para hacer el experimento, que debe cumplir con dos requisitos mínimos: estar lo más aislada posible de otras montañas que puedan interferir en la medición, y además que tenga una forma regular, dentro de lo posible, para facilitar la estimación de su volumen.

Uso de péndulos

sismómetro de Zhang Heng

Pese a ser un mecanismo muy sencillo, la historia y los estudios relacionados al péndulo son apasionantes y  merecen un capítulo aparte. Aunque se tiene conocimiento de sofisticados aparatos de medición que usan péndulos que datan del siglo I de nuestra era como el sismómetro de Zhang Heng, el estudio serio de los péndulos inicia en 1602 con Galileo Galilei, y no se detuvo su desarrollo en casi 3 siglos. Sus aplicaciones abarcan ramas tan diversas como geología, música, astronomía y medicina, e involucran personalidades de la historia científica como Santorio Santorii, René Descartes, Marinn Mersenne, Christiaan Huygens, León Foucault, Govaert Wendelen, Jean Piccard, George Airy, Daniel Bernoulli, Jean-Charles de Borda, Jean-Dominique Cassini, Adolf Repsold, Friedrich Bessel y Charles S. Pierce, por citar algunos otros además de los mencionados en el desarrollo de éste artículo.

Teoría del péndulo de Huygens: El Oscillatorium Horologium (1673). En éste libro se demuestra por ejemplo que la curva tautócrona es un cicloide y no un arco de círculo como el que traza el péndulo, razón por la cual un péndulo no puede tener isocronismo perfecto. El complicado método matemático usado por Huygens fué un antecedente del cálculo desarrollado más adelante por Newton y Leibniz.

Durante 300 años, los estudios y desarrollos sobre el péndulo lo llevaron a ser uno de los instrumentos de precisión por excelencia, superado sólo en 1930 con el desarrollo del oscilador de cuarzo. Para ese entonces la tecnología del péndulo permitía la construcción de relojes tan precisos que sólo desviaban 1 segundo por año. El uso de péndulos en experimentos de precisión era obvio. Por dar otro ejemplo, un péndulo de Mendenhall fue utilizado por Albert A. Michelson en sus mediciones de 1924 de la velocidad de la luz en el monte. Wilson, California.

Reloj de péndulo libre de Shortt-Synchronome, el reloj de péndulo más preciso jamás realizado, en el museo NIST, Gaithersburg, MD, EE. UU. Se desvía solamente un segundo por año.

En lo que respecta al tema del artículo, los primeros en sugerir el uso del péndulo en gravimetría fueron Francis Bacon en 1620 y Robert Hooke en 1666. Ese mismo año de 1666, Hooke experimentó con un péndulo cónico que se mueve en dos dimensiones usándolo como modelo para estudiar las órbitas planetarias. Basado en ese modelo, en 1679 sugirió a Newton que los movimientos orbitales tienen una componente tangencial y una componente atractiva en la dirección radial, sugerencia que influyó en la formulación de la Ley de Gravitación Universal.

En 1671 Jean Richer observó que un reloj de péndulo en Cayena atrasaba 2 minutos y medio por día respecto de otro reloj en París. Dedujo de ésto que la atracción gravitacional era menor en Cayena que en París. Se empezaron a utilizar péndulos en viajes a tierras lejanas para determinar las diferentes aceleraciones de la gravedad en distintos puntos, lo que después contribuyó a determinar la forma del planeta.


1738-1740 - Pierre Bouguer

Volcán "Chimborazo", Ecuador.

Pierre de Bouguer hizo la primer tentativa del método de la montaña durante su estadía en el Virreinato del Perú, junto con Charles Marie de La Condamine, cuando la expediciones geodésicas francesas. La montaña elegida fue el Chimborazo. Sus mediciones no fueron concluyentes, debido principalmente a las malas condiciones en las que trabajaron, y resultaron desestimadas y descartadas.

Casi paralelamente, entre 1738 y 1740 desarrolló y llevó a cabo un experimento en el que utilizó un péndulo de cobre en forma de cono doble puntiagudo suspendido por un hilo; el bob podría invertirse para eliminar los efectos de la densidad no uniforme. Calculó la longitud del centro de oscilación del hilo y el bob combinados, en lugar de usar el centro del bob. Corrigió la expansión térmica de la varilla de medición y la presión barométrica, dando sus resultados para un péndulo balanceándose en el vacío. Bouguer balanceó el mismo péndulo en tres elevaciones diferentes, desde el nivel del mar hasta la cima del alto altiplano peruano.

1. En la Isla del Inca del río Esmeralda, con una altitud entre 60 y 80 metros, situada a una distancia de unos 60 km al suroeste de Quito.
2. En el propio Quito, a una altitud de 2900 metros y una latitud de 0,25°S.
3. En la cumbre del volcán Pichincha, cerca de Quito, a una altitud de 4800 metros.

La gravedad debería caer con el cuadrado inverso de la distancia desde el centro de la Tierra. Bouguer descubrió que caía más lentamente y atribuía correctamente la gravedad "extra" al campo gravitacional de la enorme meseta peruana. A partir de la densidad de las muestras de roca, calculó una estimación del efecto del altiplano en el péndulo, y al comparar esto con la gravedad de la Tierra, pudo hacer la primera estimación empírica aproximada de la densidad de la Tierra. Encontró que la densidad media de la tierra es aproximadamente 4,5 veces la densidad media de la densidad de la roca circundante. Si consideramos que la corteza terrestre tiene una densidad media de 2900 kg/m³, la estimación de Bouguer de la densidad media de la Tierra sería de alrededor de 13000 kg/m³. Aunque no pasó mucho tiempo para saber que esa estimación estaba muy errada, sus trabajos sirvieron de modelo para los trabajos futuros.

Como nota extra, el efecto del antiplano en el péndulo observado y calculado por Bouguer, son correcciones gravimétricas fundamentales usadas hoy día en Geofísica. Véase corrección de Bouguer y anomalía de Bouguer.

1774 - Maskelyne

monte Schiehallion

Una montaña candidata para el experimento por su situación aislada y simetría fué el monte Schiehallion en Escocia. La responsabilidad del desarrollo del experimento recayó sobre Nevil Maskelyne, Astrónomo Real y Director del Observatorio Astronómico de Greenwich, por orden de la Royal Society. Finalmente tras varios meses de trabajo el valor calculado para la densidad media de la Tierra fué de 4500 kg/m3. Voy a obviar los detalles del experimento y desarrollo matemático, en cambio voy a listar algunas curiosidades y detalles sobre la envergadura y las condiciones del experimento:

• Uno de los integrantes de la comisión encargada de elegir el lugar del experimento fué Benjamin Franklin.
• Se necesitó construir dos observatorios (uno en la ladera norte y otro en la ladera sur), una cabaña para alojar a los científicos responsables, más todo el instrumental, y un campamento para alojar a los ayudantes, durante todo el tiempo que duró el experimento.
• El encargado de la agrimensura fué el geólogo escocés Charles Hutton. El equipo dirigido por él tomó miles de mediciones en distintos puntos de la montaña. Para tratar de dar sentido a los datos, Hutton trazó líneas para unir los puntos que tenían igual altura, de ésta manera se podía ver un dibujo del relieve del terreno. Hutton inventó en ese momento las curvas de nivel, que se usan al día de hoy en los mapas topográficos.
• Henry Cavendish colaboró en los cálculos.
• Uno de los cuadrantes usados en el experimento, fué utilizado por James Cook en la expedición para observar el tránsito de Venus de 1789.
• Aunque Maskelyne publicó sus resultados en 1775, apenas cuatro meses después del inicio, los resultados definitivos se conocieron sólo después de 1778, cuando se dieron por finalizados los trabajos de agrimensura. Sin embargo no modificaron significativamente las primeras estimaciones.
• Maskelyne aceptó de mala gana el cargo del experimento impuesto por la Royal Society. El último día de su estadía en la montaña organizó una celebración que se salió de control de tal manera, que la cabaña se incendió totalmente, incluso se dice que el incendio fue deliberado. 

El porqué de la importancia del experimento Cavendish

Los primeros trabajos de Bouguer y Maskelyne, junto con trabajos posteriores como los de Carlini, Hutton, Airy, etc. contribuyeron enormemente al desarrollo de la geofísica, especialmente en gravimetría, prospección geofísica y geotecnia. Llevaron a elaborar los conceptos de isostasia y correcciones gravimétricas como la de Bouguer, aire libre o latitud, por poner algunos ejemplos. Asimismo, dejaron en evidencia la poca practicidad de determinar la masa terrestre o la constante gravitacional con las técnicas vistas hasta el momento (la isostasia no permite una determinación de las medidas con un error menor al 10%).

Los métodos vistos hasta ahora comparten las enormes dificultades comunes de tratar de determinar las densidades medias del terreno circundante y su forma, así como la de tener en cuenta las anomalías gravimétricas locales. Lleva mucho muestreo de terreno, mucho tiempo, mucho trabajo, por lo que es muy susceptible de error.

La genialidad del experimento Cavendish radica justamente en lo opuesto: puede hacerse a partir de masas conocidas, sin ninguna situación geográfica particular, sin tener en cuenta las condiciones del terreno, por lo que la única variable a medir es la que realmente interesa. De ésta manera los errores inherentes a la medición se reducen drásticamente. Puede observarse en la tabla del anexo que los resultados con balanzas de torsión son los que presentan menor dispersión.

Ésta es la razón de que el experimento Cavendish sea tan nombrado, y se lo cite como la primera medición de G, aunque yo creo que ésto es restar méritos al gran trabajo de sus antecesores. Incluso el mismo experimento que llevó a cabo Henry Cavendish fué ideado por el geólogo John Michell. Cavendish lo "heredó" después de su fallecimiento.

Los detalles del experimento Cavendish pueden verlos en otra entrada de éste blog. 

Otros experimentos

En 1855 Henry James y Alexander Ross llevaron a cabo una medición con el método de la montaña  en "Arthur's Seat", Edimburgo. Obtuvieron un valor de 5300 kg/m³ para la densidad media terrestre. No hubo otros experimentos de éste tipo.

La gran mayoría de los experimentos que se hicieron posteriormente y hasta hoy usan balanzas de torsión o péndulos, con distintas variantes. Por ejemplo George Bidel Airy hizo un experimento en el que medía el gradiente gravimétrico con un péndulo, como Bouguer, sólo que en vez de medir a diferentes alturas, lo hizo a diferentes profundidades en una mina de carbón. Otros experimentos usan péndulos en laboratorio, midiendo las oscilaciones y desviaciones en presencia de masas atractivas conocidas.

Otro experimento en el que se mide G y que usa una balanza de torsión es el de Loránd Eötvös.

Otro genial experimento, aunque no usa balanzas de torsión, es el desarrollado por Von Jolly. La técnica que emplea para medir la constante G se vale de una balanza de platillos muy sensible, de 20-25 metros de alto, emplazada en una torre, y la variación de la aceleración de la gravedad a diferentes alturas, y que pueden ver aquí.

Actualidad

A la fecha se sigue intentando establecer el valor de G con precisión mayor. El valor de la masa terrestre, por sí solo, es realmente es un dato secundario, la razón de la búsqueda de mayor exactitud en la constante tiene especial interés en astrofísica. Es necesario para tener más exactitud en la explicación y predicción de los fenómenos astronómicos.

A partir de 1969 el valor de G y el de otras constantes universales son reguladas por el Comité Internacional para Ciencia y Tecnología (CODATA). Esto obviamente a efectos de establecer un estándar, y consenso en la comunidad científica internacional. Entonces el valor de G no es el que resulte de un experimento, sino el que determine CODATA a partir de los experimentos presentados. Los valores publicados periódicamente por la entidad dependen de la revisión de los distintos resultados experimentales presentados.

Valores de G obtenidos en distintos experimentos, con sus respectivas precisiones y técnicas usadas. La línea negra es el valor de G publicado por CODATA en 2014 y la columna gris, su error.

Por supuesto, Los métodos siguen evolucionando en la búsqueda de esa mayor precisión. Las balanzas de torsión son más sofisticadas y siguen siendo un referente en los experimentos, aunque en 2014 un equipo de científicos italianos (Rosi et al) publicó una nueva medida de G en la que usaron una nueva y complicada técnica en la que usan átomos de rubidio ultrafríos (~4 µk) y como fuente de campo gravitatorio cilindros de tungsteno de 516 kg. Dos nubes de átomos se disparan verticalmente y su trayectoria se desvía por la componente horizontal de los cilindros. El gravímetro usado es un interferómetro, que de alguna manera mide la transición de los fotones entre dos estados fundamentales del rubidio, cuando estos se excitan con pulsos de luz. El artículo técnico figura en éste enlace.   

El valor de G reportado fue (6,67191 ±0,00099) x 10-11 N x m²/kg². Este resultado tiene todavía mayor dispersión que el publicado por CODATA, pero el equipo recalca el potencial de mejora que tiene la técnica.

La ciencia y sus técnicas siguen evolucionando como un todo gracias al trabajo de los científicos (no es casual eso de "comunidad" científica). El valor de G todavía sigue siendo el menos preciso de las constantes físicas, pero eso pronto podría cambiar. Parafraseando la famosa cita de Sir Isaac Newton (que inició todo ésto), la ciencia puede ver cada vez más lejos, porque está sentada sobre hombros de gigantes.

Anexo

Listado de algunos experimentos en los que se determina la masa promedio de la Tierra o la constante G, desde la primer estimación de Newton hasta el último valor publicado por CODATA.

Autor	Año	Densidad media (kg/m³)	G (x10^-11 Nm^-1s^-2)	Método
Newton	1667	5000-6000		Heurística
Maskelyne	1776	4500		Montaña (Mt Schiehallion, Escocia)
Cavendish	1798	5448±33	6,74	Balanza de torsión.
Playfair	1811	4720±150		Revisión del exp. Schiehallion
Hutton	1821	4950		Schiehallion
Carlini	1821	4390		Péndulo (Mt. Cenis, Italia)
Bouguer	1821	4390		Péndulo (Milán, Italia)
Sabine	1827	4770		Péndulo (Milán, Italia)
Reich	1837	5490		Balanza de torsión
Giulio	1841	4950		Péndulo (Milán, Italia)
Baily	1842	5670		Balanza de torsión
Reich	1852	5580		Balanza de torsión
Airy	1854	6600		Variación de "g" (minas de carbón en Hurton)
James & Clerke	1855	5300		Montaña (Mt. Arthur's Seat, Edimburgo)
Cornu & Baille	1873	5530±30		Balanza de torsión
Mendenhall	1880	5770		Péndulo (Tokio, Japón)
Von Jolly	1881	5690		Variación de "g"
Von Sterneck	1883	5650±650		Variación de "g" (minas de plata en Sajonia y Bohemia)
Poynting	1892	5490	6,6984±0,029	Balanza de torsión
Vernon Boys	1895	5527	6,6576±0,002	Balanza de torsión
Preston	1895		7,16	Decremento de péndulo
Braun & Eötvös	1896	5527	6,655±0,002	Balanza de torsión
Richarz & Kigrar-Menzel	1898	5505	6,685±0,011	Variación de "g"
Burguess	1901	5524
Barus	1919		6,2	Balanza de torsión
Stern	1928		6,6±0,5	Balanza resonante
Heyl	1930	5517	6,67±0,005	Balanza de torsión
Zahradniek	1933	5528		Balanza de torsión
Jeffreys	1939	5517±4		Balanza de torsión
Heyl & Chrzanowski	1942	5514	6,673±0,003
Rose et al	1969		6,674±0,004	Balnza de torsión
Facy, Pontikis	1972		6,6714±0,0006	Péndulo resonante
CODATA	1973		6,6720±0,0041	Valor convenido sobre trabajos presentados
Renner	1974		6,67±0,0088	Péndulo de torsión
Karagioz et al	1976		6,668±0,002	Péndulo de torsión
Koldewyn, Faller	1976		6,57±0,17	Péndulo de torsión
Luther et al	1976		6,6699±0,0014	Balanza de torsión
Sagitov et al	1977		6,6745±0,0008	Péndulo de torsión
Yu et al	1978		6,67±1,2	Gravímetro Worden
Sagitov	1979		6,6745±0,0008	Péndulo de torsión
Spero	1979		6,7±0,19	Balanza de torsión anulada
Page, Geilker	1981		6,1±0,4	Balanza de torsión
Karagioz et al	1981		6,5912±0,0016	Péndulo de torsión
Luther & Towler	1982		6,6726±0,0005	Péndulo de torsión
Speake	1983		6,64±0,24	Balanceo de haces
Oelfke	1984		6,7±0,2	Balanza de torsión
Cohen, Taylor	1987		6,67259±0,00085	Ajuste del valor de G CODATA 1986
Speake, Gillies	1987		6,65±0,23	Equilibrio de haces
Liu et al	1987		6,66±0,026	Interacción rotacional de dos cuerpos con sistema de detección de bobina suspendida
Goldblum	1987		6,67(1,09±0,07)	Medición relativa de G usando masas de prueba polarizadas por rotación
Karagioz et al	1987		6,6731±0,0004	Balanza de torsión
De Boer et al	1987		6,667±0,005	Balanza de torsión modificada (soporte de mercurio, electrómetro de cuadrante)
Dousse, Rhême	1987		6,6722±0,0051	Péndulo de torsión modificado
Moore et al	1988		6,689±0,057	Equilibrio de haces
Saulnier, Frisch	1989		6,65±0,09	Balanza de torsión modificada (análisis del movimiento de masas de prueba en un campo acelerativo)
Müller et al	1990		6,689±0,027	Gravimetría en depósito de represa hidroeléctrica. Distancia efectiva de 40-70 m
Zumberge et al	1991		6,677±0,013	Medición geofísica submarina basada en perfiles gravimetricos de 5 km de profundidad
Schurr et al	1991		6,66±0,06±0,12	Resonador de microondas Fabry-Perot (error de tipo A listado primero, error de tipo B después)
Yang et al	1991		6,672±0,040	Gravimetría sobre un tanque cilíndrico grande de aceite a una distancia de 30 metros
Yang et al	1991		6,672±0,093	Gravimetría sobre un tanque cilíndrico grande de aceite a una distancia de 60 metros
Schurr et al	1992		6,6613±0,0011±0,0093	Resonador de microondas Fabry-Perot (error de tipo A listado primero, error de tipo B después)
Oldham et al	1993		6,671±0,015	Gravimetría en depósito de represa hidroeléctrica. Distancia efectiva de 26 m
Oldham et al	1993		6,703±	Gravimetría en depósito de represa hidroeléctrica. Distancia efectiva de 94 m
Walesch et al	1994		6,6724±0,0015	Resonador de microondas Fabry-Perot (error tipo A: 100 ppm, error tipo B: 200 ppm)
Walesch et al	1995		6,6719±0,0008	Resonador de microondas Fabry-Perot (error tipo A: 74 ppm, error tipo B: 83 ppm)
Fitzgerald, Armstrong	1995		6,6656±0,0006	Balanza de torsión anulada electrostáticamente
Hubler et al	1995		6,678±0,007	Equilibrio electromagnético sobre depósito. Distancia entre masas de 88 m
Hubler et al	1995		6,669±0,005	Equilibrio electromagnético sobre depósito. Distancia entre masas de 112 m
Meyer et al	1995		6,6685±0,0007±0,0050	Resonador de microondas Fabry-Perot (error de tipo A listado primero, error de tipo B después)
Fitzgerald et al	1995		6,6659±0,0006	Balanza de torsión anulada electrostáticamente.
Michaellis et al	1995		6,71540±0,00056	Balanza de torsión modificada (soporte de mercurio, electrómetro de cuadrante, masa atractiva de tungsteno)
Michaelis et al	1996		6,7174±0,0020	Balanza de torsión modificada (soporte de mercurio, electrómetro de cuadrante, masa atractiva de Zerodur®)
Bagley and luther	1996		6,6739±0,0011	Péndulo de torsión modo in-time-swing. Corrección inelástica Kuroda con un Q de 950
Bagley and Luther	1996		6,6741±0,0008	Péndulo de torsión modo in-time-swing. Corrección inelástica Kuroda con un Q de 490
Karagioz, Izmailov	1996		6,6729±0,0005
Schurr, Nolting et al	1997		6,6754±0,0014
Luo et al	1997		6,6699±0,0007
Bagley, Luther	1997		6,6740±0,0007
Schwarz W. et al	1998		6,6873±0,0094
Kleinvoss et al	1998		6,6735±0,0004
Richman et al	1998		6,683±0,011
CODATA	1998		6,673±0,01	Valor convenido sobre trabajos presentados
Jun Luo et al	1999		6,6690±0,0016
Fitzgerald, Armstrong	1999		6,6742±0,0007
Richman S.J. et al	1999		6,6830±0,0011
Schurr, Nolting et al	1999		6,6754±0,0015
Gundlach, Merkowich	2000		6,674215±0,000092
Quin, Speake et al	2001		6,67559±0,00027	Balanza de torsión
Schlamminger	2003		6,67407±0,00022
CODATA	2003		6,6742±0,001	Valor convenido sobre trabajos presentados
Armstrong, Fitzgerald	2004		6,67387±0,00027	Balanza de torsión compensada
Schlamminger et al	2006		6,674252±0,000109	Equilibrio de haces
Tu et al	2010		6,67349±0,00018	pendulo de torsión, modo in-time-swing
Parks & Faller	2010		6,67234±0,00014	Péndulo simple
Quin et al	2013		6,6745±0,0018	Balanza de torsión modificada
Rosi et al	2014		6,67191±0,00099	Interferometría cuántica en átomos de rubidio super fríos
CODATA	2018		6,67430±0,00015	Valor convenido sobre trabajos presentados

Bibliografía y referencias

• The mean density of the Earth - The Journal of the British Astronomical Association - January 2006.
• Eötvös-Determination of the Gravity Constant. Edited by L. Stegna and M. U. Sagitov - Budapest, Eötvös University, Akademia Kiado - 1979 (pp 247-254)
• Rapport-BIPM 83/1 - The newtonian gravitational constant: an index of measurement - George T. Gillies -1983
• The Newtonian gravitational constant: recent measurement and related studies - George T. Gillies - 1997 (pp 166-168)
• Proceedings of the eleventh Marcel Grossman meeting on General Relativity - Kleinert & Jantzen - 2008
• A cool way to measure big G -Stephan Schlamminger - June 2014 -
• https//www.nature.com/articles/nature13507#t
• The Scientific Papers of the Honourable Henry Cavendish Volume II Chemical Dynamical (pp 72-73)
• https://encicloredcultulandia.blogspot.com/2018/08/pendulo.html?m=
• An introduction to relativistic gravity - Rémi Hakim (pp 27
• La medida más precisa del valor de la constante de la gravitación universal.