Calculando la curvatura

por Alvaro Vary Ingweion Bayón

Pongamos que nos encontramos con el siguiente problema. Queremos saber cuánto queda oculto de un cuerpo que está más allá del horizonte. Para ello necesitamos saber tres datos principalmente: nuestra propia altura (h1), la distancia a la que está en el objeto (d), y el radio de la tierra (r).

El radio todos sabemos cuál es. Aproximadamente 6.371 Km. No obstante, es importante que tengamos en cuenta el efecto de la refracción atmosférica, que lo que produce es, principalmente, hacer que el horizonte visual esté más lejos de lo que está el horizonte geométrico. Esto equivale a un aumento virtual del radio (lo que reduce el efecto de la curvatura y nos permite ver más lejos de lo que corresponde). Para ello podemos hablar de un factor de refracción; un número que multiplicaremos por el valor del radio, para obtener ese nuevo radio virtual corregido. Podemos asumir como valor estándar de este factor de refracción 1,15; aunque es cierto que puede fluctuar según las condiciones atmosféricas. 

Una vez conocido el radio tenemos que saber cuál es nuestra altura sobre el nivel del mar. Esto nos permitirá saber a qué distancia está el horizonte. ¿Cómo? Sencillo.

Sabiendo cuál es el radio, y cuál nuestra altura (h1), podemos saber cuál es la longitud de la linea que va de O a A con una simple suma.

El siguiente paso es calcular la longitud del segmento tangente con el horizonte, que va del punto A al punto B. Esto lo hacemos con el cálculo del teorema de Pitágoras. La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Aquí tenemos uno de los catetos, que es el radio (la linea que va de O a B) y la hipotenusa, que es la que va de O a A, ya calculada, así que para calcular el segundo cateto, simplemente operamos.

Ahora tenemos el valor de la línea recta desde el observador hasta el horizonte. Pero la distancia real que apreciamos en un mapa no es la de la línea recta, sino la distancia a nivel del mar; es decir, la distancia que hay desde el punto de corte del horizonte (B) hasta el lugar al nivel del mar donde se encuentra el observador (D), y medida a lo largo de la superficie del arco. A esa distancia la he llamado d1, y se calcula a partir del ángulo que forma dicho arco, así —nota: todos los cálculos se harán con los ángulos medidos en radianes por comodidad—

Bien. Tenemos la distancia que hay desde la base del observador hasta el horizonte. Ahora, sabiendo cuál es la distancia total desde el observador hasta el objeto observado, nos queda calcular cuánto del objeto observado seremos incapaces de ver por estar bajo el horizonte; es decir, la medida que hemos denominado h2.

Para ello primero necesitamos saber la distancia que hay desde el punto de corte del horizonte (B) hasta la base del objeto a observar (E), y de nuevo, como antes, se mide a lo largo de la superficie del arco. Como conocemos cuál es la distancia total, solo tenemos que restar. 

Y el cálculo a realizar ahora, es básicamente el inverso al que hemos hecho hasta ahora. Sabiendo la distancia, lo primero que tenemos que hacer es calcular el ángulo —Insisto, en radianes—. Algo sencillo.

Ahora podemos calcular la longitud del segmento recto que va desde B hasta C haciendo la tangente y multiplicándola por el radio.

En este punto tenemos los dos catetos del triángulo rectángulo, por lo que calcular la hipotenusa ha de ser algo muy fácil.

Sabiendo este dato, ahora solo tenemos que restar el radio de la tierra para obtener h2.

EJEMPLO: Pongamos que estamos en un lugar elevado a 400 metros de altura (=0,4 Km), y tenemos una montaña lejana a 200 Km de distancia. El radio de la tierra es de 6 371 Km y tenemos un índice de refracción de 1,2, lo que nos hace un radio virtual corregido de 7 645,2 Km. ¿Cuánta parte de la montaña queda oculta tras el horizonte?

970 metros de montaña quedan ocultos tras el horizonte.

Espero que con esto, de una vez por todas, la gente deje de cometer errores en los cálculos, ¿vale, Óliver Ibáñez?

Hagamos una cosa más. Siempre dicen que la caída es algo así como de 8 pulgadas por cada milla al cuadrado. Es decir, que al avanzar una milla, caen 8 pulgadas. A las 2 millas caen 32 pulgadas (2 al cuadrado es 4, por 8 es 32), a las 3 millas 71 pulgadas, a las 4 millas la caída es de 128 pulgadas, y así sucesivamente. Sinceramente no sé de dónde se sacan esa fórmula, pero así parece que es como se usa: (ver enlace). Es conveniente echarle un cálculo a ver hasta donde funciona y dónde deja de funcionar. La fórmula del que llamaré «Método Dubay» establece la siguiente ecuación (altura (h) en pulgadas, distancia (d) en millas): 

Se me ha ocurrido hacer una tabla en la que se comparen (tanto en millas como en kilómetros de distancia, tanto en pulgadas como en metros de altura) ambas fórmulas, la que yo he desarrollado, puramente matemática y asumiendo que no exista refracción, con la fórmula de las ocho pulgadas por milla al cuadrado.

Si consideramos el error acumulado en función de la distancia, y tal y como se ve en la tabla, vemos que la fórmula funciona muy bien (con un error inferior al 5%) hasta una altura que se encuentra entre los 213 y los 852 kilómetros. Dado que la ISS orbita a unos 400 modestos kilómetros de altura, incluso los cálculos que se hagan teniendo en cuenta a un observador que esté allí arriba podrían realizarse con esta ecuación simplificada sin acumular mucho error —en concreto, a 400 Km de altura, el método trigonométrico nos da unos 2200 Km de distancia al horizonte, mientras que el método de las pulgadas nos coloca el horizonte unos 60 Km más lejos; un error acumulado de tan solo 2,6%

Para que el error empiece a ser significativo (por encima del 5%, como digo) tendríamos que ascender hasta los 783,5 Km de altura. Ahora bien, a medida que nos vamos alejando a partir de ese punto, el error acumulado se dispara a tal magnitud, que si observásemos la tierra desde la luna (unos 384.400 Km), y usando el cálculo trigonométrico tendríamos (es evidente) el horizonte a poco más de 9.900 Km. Esta sería la distancia de arco que podríamos observar desde el centro de la superficie observable hasta el extremo; dado que la circunferencia del planeta ronda los 40.000 Km, es congruente que desde la luna veamos 9.900 Km, que multiplicado por 2 para hacer el cálculo de extremo a extremo resultan 19.800 Km, que es casi la mitad; no estamos aún lo suficientemente lejos para ver la media esfera completa, pero casi.

Sin embargo, con el método de las pulgadas, nos sale que estamos observando nada más y nada menos 70.000 Km desde el centro hasta el extremo, es decir, que la media circunferencia visible de extremo a extremo mediría 140.000 Km, que en el mundo real es la circunferencia ecuatorial de la tierra multiplicada por 3,5. El error acumulado aquí es de 607%.

Para ver ese error acumulativo con más facilidad, podemos representar los valores en una gráfica. En el eje vertical —y en escala logarítmica— he representado la altura a la que se encuentra el observador, en metros. En el eje horizontal —y también en escala logarítmica— se representa la distancia a la que se encuentra el horizonte. La linea gris representa la diagonal (relación exacta entre altura y distancia)

Dado que se considera la posición central como el punto vertical en el que se encuentra el observador, y estamos midiendo la distancia hasta el horizonte, es obvio que la distancia entre horizonte y horizonte será el doble. De ahí que el valor máximo que podemos alcanzar sea de 10.000 Km, que es la cuarta parte de la circunferencia completa, unos 40.000 Km. Esto es porque lo máximo que podemos ver de una esfera es justo la mitad de la misma que mira hacia nosotros, y por mucho que nos alejemos no podremos ver más. La mitad de la esfera haría que de un extremo del horizonte hasta el otro sean 20.000 Km, por lo que, desde el punto central hasta el horizonte la máxima distancia visible posible es 10.000 Km, tal y como se ve en la gráfica, donde los puntos verdes generan una asíntota. Los valores no superan esa linea verde por mucho que aumentes la altura.

Sin embargo, usando el «método Dubay» (puntos azules) vemos que no aparece un límite. Los valores siguen creciendo de forma ilimitada mucho más allá del límite real de visibilidad.

Sin embargo, sí que podemos decir que para alturas cotidianas, el «método Dubay» funciona —y he de decir que, sinceramente, me ha sorprendido este hecho—. Si bien tiene sus limitaciones —como que no sirve para alturas superiores a los 700 Km, y que tampoco permite hacer correcciones respecto a la refracción atmosférica—, funciona. Punto positivo para los terraplanistas en este aspecto.

Quizá para los que usamos el sistema métrico, como yo, que el enunciado esté formulado en pulgadas y millas no es para nada cómodo. Propongo la alternativa que, aunque no queda tan bonita y tan redonda como la que proponen los terraplanistas, se puede usar igualmente empleando los metros y kilómetros a los que tan acostumbrados estamos nosotros. De este modo, las ecuaciones son las siguientes (la altura (h) en metros, la distancia (d) en kilómetros):

Para calcular la altura sabiendo la distancia:

Para calcular la distancia sabiendo la altura:

Recordemos no obstante que la mayor parte de las veces el fallo de los argumentos terraplanistas es que consideran la altura del objeto y la distancia a la que está, sin considerar la altura del observador. Para, empleando el «método Dubay», establecer un cálculo correcto, habría que hacerlo como se narra en la primera parte del artículo, solo que en lugar de hacer los cálculos de tangentes y demás, bastaría con aplicar estas dos últimas ecuaciones para cada una de las dos partes del cálculo. Primero hay que calcular la distancia del horizonte (d1) a partir de la altura del observador (h1) siguiendo la primera ecuación. Después, conociendo la distancia total (d) y la distancia del observador al horizonte (d1), restar para obtener la distancia entre el horizonte y el objeto (d2). Y por último, a partir de esta distancia (d2), calcular la altura de ocultación del objeto que observas (h2) a partir de la segunda ecuación.

Finalmente, les dejo una pequeña hoja de cálculo que pueden utilizar:

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