domingo, 12 de marzo de 2017

Demostración XIII de la Tierra esférica

Durante siglos los navegantes que navegan los océanos en el hemisferio norte han utilizado la Estrella del Norte (Polaris) para determinar su latitud.



Para cualquier punto entre el ecuador y el Polo Norte, la latitud se obtiene simplemente midiendo la altitud de Polaris. Por ejemplo, a la latitud 30°N, Polaris se puede ver 30° por encima del horizonte. Desde la latitud 53°N, Polaris está 53° por encima del horizonte. Si vemos a Polaris en un ángulo de 5° por encima del horizonte, estás en la latitud 5°N, y así sucesivamente.

Debido a la esfericidad de la tierra, la altitdud
de Polaris en coincidente con la latitud del observador

la relación entre la posición latitudinal y la altitud aparente de Polaris se debe no sólo a la distancia y ubicación de la estrella sobre el polo norte, sino también a la forma esférica de la Tierra.

Los astrónomos han determinado que Polaris está a 323 años luz de la tierra. Esta distancia extrema tiene dos efectos importantes:

Es la razón por la cual la estrella parece estar estacionaria, directamente sobre el polo norte durante todo el año, a pesar de la órbita anual de la Tierra alrededor del Sol.

Los rayos de luz de Polaris son prácticamente paralelos cuando el alcance de la tierra. Esto significa que toda la luz de Polaris encuentra la tierra en el mismo ángulo, 90 ° con respecto al plano ecuatorial de la tierra.

La gran distancia de Polaris no es una suposición arbitraria. Como se explica más adelante, tiene que estar muy lejos para producir los ángulos en los que se observa desde la tierra.

Los elefantes que sostienen la Tierra Plana protestarán insistiendo con su antiguo argumento de que es imposible que Polaris aparezca siempre por encima del Polo Norte, considerando que la tierra está viajando alrededor del sol a lo largo de una trayectoria orbital de 940 millones de kilómetros de circunferencia. Este argumento es en realidad irrelevante con respecto a la forma de la tierra y es simplemente un argumento (malo) para una tierra estacionaria. Como se verá a continuación, incluso si la Tierra estuviera estacionaria, su forma sólo puede ser esférica.

Sin embargo, los tierraplanistas simplemente carecen de entendimiento de la geometría del modelo heliocéntrico. La distancia que la tierra viaja durante su órbita anual es minúscula en comparación con la distancia de Polaris de 10.192.900 veces el diámetro de la órbita terrestre alrededor del sol. Para que se comprenda mejor, eso significa que si el diámetro de la órbita de nuestro planeta midiera solo UN METRO, Polaris estaría a 10.192,9 kilómetros de nosotros. Esto explica perfectamente por qué no apreciamos movimiento alguno.

Para poner eso en perspectiva, imagine que está mirando hacia delante a una lejana montaña situada a 100 kilómetros de distancia. Ahora muévase ocho milímetros a la izquierda. Obviamente, todavía está mirando directamente a la montaña. Si usted representa a la tierra y la montaña a Polaris, esa distancia de 8 mm es el equivalente del cambio en la posición relativa de la tierra después de seis meses de órbita.

Si la tierra fuera plana, y observadores ubicados cada 15º observaran a Polaris, tendríamos un grave problema, ya que estarían mirando hacia distintos lugares del cielo:


Interesante, verdad?

Aporte de Alvaro Vary Ingweion Bayón sobre el tema:
Hay un sistema para medir la distancia a un punto dado mediante la trigonometría, que es muy útil. Si la Tierra es plana, nos permitiría sin esfuerzo medir la altura a la que se encuentra la estrella Polar, y con ello calcular la altura que tiene el domo.

Para ello lo único que necesitamos es mirar la inclinación a la que esa estrella está respecto al horizonte. Tomando la linea del horizonte como el cero, diríamos que algo que está exactamente en la vertical estaría a 90º.

Comprobando el ángulo que forma la estrella polar con el horizonte en dos lugares distintos, nos permite, por tanto, construir un triángulo. Un triángulo para el cual conocemos dos de los ángulos. Sabiendo además la longitud de la base de ese triángulo (que es la distancia entre los dos observadores) podemos calcular la altura de ese triángulo, es decir, la altura de la estrella polar, y por tanto, del domo.

En el polo Norte, además, la estrella se encuentra a 90º, por lo que tomando ese punto y cualquier otro, podemos trazar un triángulo rectángulo, que facilita mucho más los cálculos. El cálculo no es difícil. La tangente de un ángulo se define como la relación entre el cateto opuesto y el adyacente de un triángulo rectángulo, y si a ese valor le multiplicas el valor conocido del cateto adyacente, el resultado es el cateto opuesto.

Es decir, que se cumple que, para un ángulo de visualización de la estrella µ, una distancia d y una altura h, h=d*tanµ

Dicho esto, pasemos a los datos.

Si viajamos por ejemplo unos 3.300 Km del polo norte en dirección a Rusia, nos encontramos con la ciudad de San Petersburgo. Allí, la estrella polar se ve a una altura de aproximadamente 60º.

Si hacemos las cuentas, no es difícil descubrir que h = 3.300 Km * tan60º = 5.716 Km. Ya tenemos la altura de la estrella polar en el domo de la tierra plana. Está a 5.716 Km sobre el polo. Magnífico.

Pero lo bueno de la ciencia es que es repetible, reproducible y replicable. Y ahora podemos hacer la medición desde otro lugar. Por ejemplo, desde la ciudad de Turín, en Italia. La distancia al polo Norte en esta ciudad es de aproximadamente 5.000 Km de distancia, y si miramos el cielo, la altura a la que está la estrella polar es 45º.

Echemos cuentas: h = 5.000 Km * tan45º = 5.000 Km.

Vaya. Espera. Tenemos un problema. La estrella polar está a más de 700 Km más abajo que antes. Algo está pasando aquí. Probemos con un tercer lugar. Castellón de la Plana, en España. Está a unos 5.600 Km de distancia del polo norte, y la estrella polar la vemos a 40º.

h = 5.600 Km * tan40º = 4.699 Km. Hemos perdido otros 300 Km de altura.

¿Y si me voy a un punto aún más al sur? Venga. Chiapas, en México. Está a nada menos que 8.300 Km del polo norte, y la estrella polar asoma unos tenues 15 grados sobre el horizonte.
h = 8.300 Km * tan15º = 2.224 Km.

Cuanto más nos alejamos del polo norte, más baja está la estrella polar. Y es curioso, porque llegamos a un punto en que la estrella polar toca el horizonte.

Vámonos a Singapur. Aquí, a 9.900 Km del polo norte, la estrella polar está a solo 1º de elevación sobre el horizonte.

h = 9.900 Km * tan1º = 173 Km.

Desde luego hay algo que está fallando aquí. La misma estrella no puede estar a una altura distinta según dónde se observe. Si la tierra es plana, y está cubierta por un domo, y la estrella polar está fija en el domo sobre el polo norte, estará siempre a la misma altura. Y si tomamos como válido (por ejemplo) el cálculo hecho desde San Petersburgo y la estrella polar está a unos 5.700 Km de altura, entonces los ángulos a los que debería aparecer esa estrella serían estos... Hagamos el cálculo inverso:

Si h = d * tanµ, entonces h/d = tanµ, y por tanto, arctan(h/d) = µ.

Para San Petersburgo: arctan(5.700/3.300) = 59º 55' 53". Cuadra con los 60º que habíamos comprobado (tengamos en cuenta que la desviación aquí es de solo 4' 7", algo casi imposible de medir con un simple sextante).

Para Turín: arctan(5.700/5.000) = 48º 44' 35". Pero la estrella polar la vemos más de 3º más abajo.
Para Castellón: arctan(5.700 / 5.600) = 45º 30' 25". Nos desviamos más de 5º.
Para Chiapas: arctan(5.700 / 8.300) = 34º 28' 45". Casi 20º de desviación.

Y para Singapur: arctan(5.700/9.900) = 29º 55' 53". Nos desviamos casi 29º. Una pasada.

Ahora vamos a poner una hipótesis alternativa. Supongamos que la tierra es una esfera enorme, y que la estrella polar está tan, tan, tan enormemente lejos que no somos capaces de ver diferencias en cuanto a su posición por mucho que nos movamos. Es decir, que está siempre en el mismo sitio del cielo, y las diferencias de los ángulos se deben a nuestra propia inclinación sobre la esfera.

Podemos ahora usar esos cálculos para comprobar si esa hipótesis es o no posible. Veamos.

Teníamos que San Petersburgo estaba a 3.300 Km del polo norte. Y tenemos que la estrella estaba a 60º, mientras que en el polo norte estaba a 90º.

Eso significa que el ángulo que forma el arco entre San Petersburgo y el polo norte es de 30º. Por lo que se deduce que 3 300 Km son 30º.

Y queremos calcular lo que mide la esfera.

La fórmula matemática es la siguiente. Tenemos que dividir la longitud del arco (l) entre el ángulo de ese arco para obtener la distancia por cada grado, y multiplicarlo por los 360º para calcular la longitud total (L). Y el ángulo del arco es igual a los 90º del ángulo recto en el polo norte, menos ángulo de la estrella en el punto del observador, µ.

Es decir. L = 360 * l / (90-µ).

Con San Petersburgo tenemos que L = 360 * 3.300 Km / (90-60) = 39.600 Km.
Con Turín: L = 360 * 5.000 Km / (90-45) = 40.000 Km.
Con Castellón: L = 360 * 5.600 Km / (90-40) = 40 .320 Km.
Con Chiapas: L = 360 * 8.300 Km / (90-15) = 39.840 Km.
Y con Singapur: L = 360 * 9.900 Km / (90-1) = 40.044 Km.

Vemos leves variaciones. De hecho, el valor más bajo es de 39.600 y el más alto de 40.320. Es decir, que la máxima diferencia es de 720 Km. Esto puede deberse al efecto de los redondeos. Las distancias han sido tomadas en rangos de 100 en 100 km (tal vez la ciudad de San Petersburgo no esté exactamente a 3.300 Km, tal vez está a 3.345 Km), y los ángulos han sido también aproximados (puede que en Castellón no esté a 40º sino a 39º 55', por ejemplo).

Pero podemos hacer un cálculo rápido de media y desviación estandar, para comprobar si el resultado se ajusta o no a una esperada uniformidad.

La media de los cinco valores calculados es de 39.960,8 Km y la desviación estándar es de 265,64 Km.

Es decir. Podemos decir sin temor a equivocarnos, en base a los cálculos realizados, que la circunferencia de la Tierra es igual a 39.960,8 ± 265,64 Km. O lo que es lo mismo, que el valor real está entre 39.695 y 40.226 Km.

Un error de un 0.66% en un cálculo tan aproximado es perfectamente asumible y encaja con lo esperado.

La conclusión es sencilla. La tierra no solo no puede ser plana, sino que es una esfera de aproximadamente 40.000 Km de circunferencia.

Todo este texto ha sido escrito tomando valores reales de distancias redondeadas a la centena de kilómetros, y valores reales de altura redondeadas a 1º.

Es decir. Una distancia de 3.549 Km se redondea a 3.500 y una de 3.550 se redondea a 3.600 y un ángulo de 35º 29' 59" se redondea a 35º y uno de 35º 30' 0" se redondea a 36º.


Para terminar, les dejo el video de Phillips John referido al mismo tema



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